Holevos sats

Holevos teorem  är ett viktigt begränsande teorem inom kvantberäkning , ett tvärvetenskapligt område inom fysik och datavetenskap . Det kallas ibland för Holevo-gränsen , eftersom satsen sätter en övre gräns för mängden information som kan vara känd om ett kvanttillstånd (tillgänglig information). Teoremet publicerades av Aleksandr Semyonovich Holevo 1973.

Inledning

Som med andra begrepp inom kvantinformationsteori är det lättare att förstå kärnan i frågan med hjälp av exemplet på kommunikation mellan två personer. Låt oss säga att vi har Alice och Bob . Alice har en klassisk slumpvariabel X , som kan ta värdena {1, 2, …, n } med motsvarande sannolikheter . Alice förbereder ett kvanttillstånd , representerat av en densitetsmatris , vald från uppsättningen , och skickar detta tillstånd till Bob. Bobs mål är att hitta värdet på X , vilket görs genom mätning av tillståndet , vilket ger det klassiska resultatet, betecknat med Y . I detta sammanhang är mängden tillgänglig information, det vill säga mängden information som Bob kan få genom variabeln X , det maximala värdet av ömsesidig information I ( X : Y ) mellan slumpvariablerna X och Y över alla möjliga mätningar Bob kan göra [1] .

För närvarande är ingen formel känd för att beräkna tillgänglig information. Det finns dock flera övre gränser, av vilka den mest kända är Holevo-gränsen, som uttrycks av följande sats [1] .

Uttalande av satsen

Låt vara en uppsättning av blandade tillstånd och låt vara ett av dessa tillstånd extraherat enligt sannolikhetsfördelningen .

Nu, för varje mätning som beskrivs av POVM-element ( positivt operatörvärderat mått , positivt operatörsmått) och utfört på , är mängden tillgänglig information från variabeln X i form av ett mätresultat Y begränsad ovanifrån enligt följande:  

var  ; är von Neumann-entropin .

Värdet på höger sida av ojämlikheten kallas Holevo-informationen eller Holevo- värdet χ :

.

Bevis

För att bevisa detta, överväg tre kvantsystem som heter . Samtidigt betraktas det som förberedelse ,  - som ett kvanttillstånd förberett av Alice och överfört till Bob, och  - som ett sätt att mäta Bobs mottagna information.

Ett komplext system är initialt i ett tillstånd

Alices tillstånd kan ses som om Alice hade ett värde för en slumpvariabel . Då är förberedelsetillståndet ett blandat tillstånd som beskrivs av densitetsmatrisen , kvanttillståndet som skickas till Bob är , och Bobs mätinstrument är i sitt initiala eller viloläge .

Använda de kända resultaten av kvantinformationsteorin[ vad? ] kan visas[ hur? ] det

Även efter några algebraiska beräkningar kan man visa[ hur? ] , vilket motsvarar satssatsen [1] .

Anteckningar

I huvudsak bevisar Holevo-gränsen att för n qubits , även om de kan "bära" mer (klassisk) information på grund av kvantöverlagring, överstiger mängden klassisk information som kan extraheras , d.v.s. erhållas i praktiken , inte n klassisk (d.v.s. inte kodade kvantbitar) . Detta är förvånande av två skäl. :

  1. kvantberäkningar är ofta så mycket kraftfullare än konventionella beräkningar att resultat som visar att de bara är marginellt bättre, eller till och med sämre, än konventionella tekniker är udda;
  2. komplexa tal krävs för att koda en qubit, som endast representerar n bitar.

Se även

Anteckningar

  1. 1 2 3 Nielsen, Chuang, 2000 .

Litteratur