Pizzadelning teorem

Pizzadelningssatsen säger att arean av två områden som erhålls genom att skära en cirkel på ett visst sätt är lika .

Namnet på satsen återspeglar den klassiska pizzaskärningstekniken . Teoremet visar att om två personer skär en pizza på det här sättet och turas om att ta skivorna, så kommer varje person att få samma mängd pizza.

Uttalande av satsen

Låt p vara en inre punkt på skivan och låt n vara en multipel av 4 och minst 8. Låt oss skära skivan i n sektorer med lika vinklar (lika med radianer ) längs linjer som går genom punkten p . Vi numrerar sektorerna sekventiellt medurs eller moturs. Sedan säger pizzasatsen att:

Summan av areorna för udda sektorer är lika med summan av areorna för jämna sektorer [2] .

Historik

Pizzadelningssatsen föreslogs ursprungligen som ett utmaningsproblem av Leslie Upton ( eng.  LJ Upton ) [2] . Den publicerade lösningen på detta problem av Michael  Goldberg använde en direkt tillämpning av algebraiska uttryck för sektorsområden.

L. Carter ( eng.  Larry Carter ) och S. Wagon ( eng.  Stan Wagon ) [1] gav ett alternativt bevis genom att skära . De visade hur man skär sektorer i mindre bitar så att varje bit i en udda sektor har en kongruent bit i en jämn sektor och vice versa. G. Frederickson ( eng.  Greg Frederickson ) [3] gav en familj av dissektionsbevis för alla fall (där antalet sektorer är 8, 12, 16, ... ).

Generaliseringar

Kravet på att antalet sektorer ska vara en multipel av fyra är väsentligt - detta visade Don Coppersmith ; att dela upp skivan i fyra sektorer, eller ett antal sektorer som inte är delbara med fyra, ger vanligtvis inte lika arealer. Marby ( eng.  Rick Mabry ) och Dierman ( eng.  L. Paul Deiermann ) [4] svarade på lösningen av Carter och Wagon [5] , vilket gav en mer exakt version av satsen , som bestämmer vilken av uppsättningarna av sektorer som kommer att ha ett stort område om ytorna inte är lika. I synnerhet, om antalet sektorer är jämförbart med 2 ( mod 8) och ingen av snitten passerar genom mitten av skivan, så har delmängden av bitar som innehåller mitten en mindre yta; medan i fallet när antalet sektorer är jämförbart med 6 (mod 8) och ingen av snitten passerar genom mitten, har uppsättningen bitar som innehåller mitten en stor yta. Ett udda antal sektorer är omöjligt med raka snitt, och ett snitt genom mitten gör båda uppsättningarna av sektorer lika i yta, oavsett antalet sektorer.

Marby och Dyerman [4] märkte också att i fallet när pizzan delas lika, så är kanten också delad lika (kanten kan betraktas som antingen pizzans omkrets eller området mellan cirkelns kant (pizza) ) och en mindre cirkel med samma centrum, förutsatt att delningspunkten ligger i denna mindre cirkel), eftersom skivorna som begränsas av båda cirklarna är lika uppdelade, så kommer även deras skillnad. Men om pizzan inte är jämnt fördelad får den ätare som får mest yta av pizzan en mindre bit av kanten.

Som Hischhorns [6] noterade , resulterar lika delning av en pizza också i en lika delning av dess topping om toppingen är fördelad i en cirkel (inte nödvändigtvis koncentrisk med pizzacirkeln) som innehåller mittpunkten p av uppdelningen i sektorer.

En generalisering av pizzasatsen för en n-dimensionell boll föreslogs i Yu. A. Brailovs arbete: en uppsättning hyperplan, som har en liknande egenskap, motsvarar en finit reflektionsgrupp av typen B_n [7] .

Relaterade resultat

Hirshhorns [6] visade att en pizza skuren som i pizzasatsen i n sektorer med lika vinklar, där n är delbart med fyra, kan delas lika mellan n /4 personer. Till exempel kan en pizza uppdelad i 12 sektorer delas lika på tre personer. Men för att fördela en pizza mellan fem personer krävs det att pizzan delas in i 20 sektorer.

Cybulka, Kinchl et al [8] och Knauer, Micek, Jokordt [9] studerade spelet att välja gratis pizzaskivor för att garantera majoriteten, ett problem som föreslagits av Dan Brown och Peter Winkler . I den version av problemet de studerade är pizzan uppdelad radiellt (utan garanti för att vinklarna på sektorerna är lika) och de två matgästerna väljer omväxlande pizzaskivor som ligger i anslutning till de sektorer de redan har ätit. Om två matgäster försöker maximera mängden pizza som äts, kan den som tar den första skivan garantera sig 4/9 av hela pizzan, och det finns pizzasnitt där han inte kan få mer. Den rättvisa divisionen eller pajdelningsproblemet betraktar liknande spel där olika spelare har olika kriterier för att mäta storleken på deras andel. Till exempel kan en ätare föredrar mer pepperoni , medan en annan kanske föredrar ost [10] .

Se även

Andra matematiska beräkningar som ligger nära indelningen av pizza inkluderar lata leverantörssekvenser  , en sekvens av heltal som representerar det maximala antalet pizzaskivor som kan erhållas genom direkta snitt, såväl som sandwichsatsen om att skära tredimensionella föremål, från de två -dimensionell version av vilken det följer att pizza till och med är ful formen kan delas på mitten längs området och längs kanten samtidigt med ett snitt, och av den tredimensionella versionen av satsen följer att det finns en plan som delar basen och fyllningen lika.

Anteckningar

  1. ↑ 12 Carter, Wagon, 1994a .
  2. ↑ 12 Upton , 1968 .
  3. ↑ Frederickson, 2012 .
  4. ↑ 1 2 Mabry, Deiermann, 2009 .
  5. ↑ Carter, Wagon, 1994b .
  6. ↑ 12 Hirschhorns , 1999 .
  7. ↑ Brailov Yu. A. Reflektionsgrupper och pizzasatsen  // Algebra i Analiz. - 2021. - T. 33 , nr. 6 . - S. 1-8 . Arkiverad från originalet den 28 november 2021.
  8. ↑ Cibulka, Kynčl et al., 2010 .
  9. ↑ Knauer, Micek, Ueckerdt, 2011 .
  10. ↑ OM Musina, E. F. Ott. Nya funktionella produkter - mjukost "Globozum" och halvhård ost "Pladolens" // Osttillverkning och smörtillverkning. - 2019. - Utgåva. 2 . — S. 14–16 . — ISSN 2073-4018 . - doi : 10.31515/2073-4018-2019-2-14-16 .

Litteratur