Likbent triangelsats

Den likbenta triangelsatsen är ett klassiskt teorem inom geometrin som säger att vinklarna mitt emot sidorna av en likbent triangel är lika. Denna teorem visas som påstående 5 i bok 1 av Euklids element .

Det omvända påståendet är också sant: om två vinklar i en icke-degenererad triangel är lika, så är sidorna mittemot dem också lika. Satsen är giltig i absolut geometri , och därmed i Lobachevskys geometri , är den också giltig i sfärisk geometri .

Pons asinorum

Denna sats, liksom (mer sällan) Pythagoras sats , kallas ibland lat. pons asinorum [1] ({ref=la}}, [ˈpons asiˈnoːrʊm]) - "bro av åsnor". Frasen har varit känd sedan 1645 [2]

Det finns två möjliga förklaringar till detta namn. En är att ritningen som användes i Euklids bevis liknade en bro. En annan förklaring är att detta är det första seriösa beviset i Euklids element - "åsnor" kan inte övermanna det [1] .

Bevis

Euclid och Proclus

Euklid bevisar dessutom att om sidorna i en triangel sträcker sig bortom basen, så är vinklarna mellan förlängningarna och basen också lika. Det vill säga i ritningen till Euklids bevis. $\measuredangle CBF=\measuredangle BCG$

Proclus påpekar att Euklid aldrig använder detta ytterligare påstående och hans bevis kan förenklas något genom att rita hjälpsegment till sidorna av triangeln, och inte till deras förlängningar. Resten av beviset löper nästan oförändrat. Proclus föreslog att den andra härledningen kunde användas som en motivering i beviset för följande proposition, där Euklid inte övervägde alla fall.

Beviset bygger på den föregående meningen i Elementen, på det som idag kallas testet för likheten mellan trianglar på två sidor och vinkeln mellan dem.

Proclus bevis

Låta vara en likbent triangel med lika sidor och . Vi markerar en godtycklig punkt på sidan och konstruerar en punkt på sidan så att . Låt oss rita segment och . Eftersom , och vinkeln är gemensam, av likheten mellan de två sidorna och vinkeln mellan dem, och därför deras motsvarande sidor och vinklar är lika. Därav vinkeln och och . Eftersom och , subtraktioner från lika delar är lika, får vi . Om vi återigen applicerar tecknet på trianglarnas likhet på två sidor och vinkeln mellan dem, får vi det . Härifrån och . Subtraktioner från lika delar lika får vi . Återigen, med samma kriterium, får vi det . Därav . ■ $\triangel ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $AB$ $E$ $AC$ $AD=AE$ $DC$ $VARA$ $DE$ $AD=AE$ $AB=AC$ $\angle A$ $\triangle BAE\cong \triangle CAD$ $\measuredangle ABE=\measuredangle ACD$ $\measuredangle AEB=\measuredangle ADC$ $BE=CD$ $AB=AC$ $AD=AE$ $BD=CE$ $\triangle DBE\cong \triangle ECD$ $\measuredangle BDE=\measuredangle CED$ $\measuredangle BED=\measuredangle CDE$ $\measuredangle BDC=\measuredangle CEB$ $\triangle BDC\cong \triangle CEB$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Papp

Proclus ger också ett mycket kort bevis som tillskrivs Pappus . Det är enklare och kräver inga ytterligare konstruktioner. Beviset applicerar tecknet på likhet på två sidor och vinkeln mellan dem på triangeln och dess spegelbild.

Bevis Pappus

Låta vara en likbent triangel med lika sidor och . Eftersom vinkeln är gemensam på två sidor och vinkeln mellan dem . I synnerhet, . ■ $\triangel ABC$ $AB$ $AC$ $\angle A$ $AB=AC$ $\triangle ABC\cong \triangle ACB$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Andra

Pappus bevis förvirrar ibland eleverna genom att jämföra triangeln "med sig själv". Därför ger läroböcker ofta följande längre bevis. Det är enklare än Euklids bevis, men använder begreppet bisektris. I Elementen ges konstruktionen av bisektrisen för en vinkel endast i proposition 9. Därför måste presentationsordningen ändras för att undvika möjligheten till cirkulära resonemang.

Bevis

Låta vara en likbent triangel med lika sidor och . Låt oss rita vinkelhalveringslinjen . Låta vara skärningspunkten för bisektrisen med sidan . Observera att sedan , och den gemensamma sidan. Så . ■ $\triangel ABC$ $AB$ $AC$ $\angle A$ $X$ $före Kristus$ $\triangle BAX\cong \triangle CAX$ $\measuredangle BAX=\measuredangle CAX$ $AB=AC$ $AX$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Legendre använder liknande konstruktioner i sin "Éléments de géométrie", men tar som mitten . Beviset är liknande, men använder tecknet att trianglar är lika på tre sidor. $X$ $före Kristus$

Länkar

↑ 12 Smith , David Eugene. History Of Mathematics : [ eng. ] . - Ginn And Company, 1925. - Vol. II: Specialämnen i elementär matematik. - S. 284. - 725 sid.
Den bildades vid en bro över vilken dårar inte kunde hoppas att passera, och var därför känd som pons asinorum, eller dårarnas bro.¹
…

1. Termen är något som tillämpas på Pythagoras sats.
↑ Definition av Pons Asinorum . Merriam Webster. Hämtad 5 oktober 2019. Arkiverad från originalet 1 april 2019.