Unimodulärt galler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 juni 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Ett unimodulärt gitter är ett helt gitter med determinant . Det senare motsvarar det faktum att volymen av den fundamentala regionen av gittret är . $\pm 1$ $ett$

Definitioner

Gallret är en fri abelisk grupp av finit rang med en symmetrisk bilinjär form . ${\mathbb Z}^{n}$ $n$ $({*},{*})$
Ett gitter kan också ses som en undergrupp av ett verkligt vektorrum med en symmetrisk bilinjär form . $\mathbb {R} ^{n}$
Talet kallas gittrets dimension , det är dimensionen för motsvarande reella vektorrum ; det är samma som rangen för -modulen , eller antalet generatorer i en fri grupp . $n$ $\mathbb {Z}$ ${\mathbb Z}^{n}$ ${\mathbb Z}^{n}$
Gittret kallas heltal om formen endast tar heltalsvärden. $({*},{*})$
Normen för ett gitterelement definieras som . $a$ $(a,a)$
Ett gitter sägs vara positivt-definitivt eller Lorentzian , och så vidare, om dess vektorrum är sådant. Särskilt:
- Ett gitter är positivt definitivt om normen för alla element som inte är noll är positiv.
- Signaturen för ett gitter definieras som signaturen för en form på ett vektorrum.
Determinanten för ett gitter är determinanten för grammatrisen för dess bas.
Ett gitter kallas unimodulärt om dess determinant är . $\pm 1$
Ett unimodulärt gitter kallas även om alla normer för dess element är jämna.

Exempel

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , såväl som unimodulära gitter. $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$
Gitter E8 , Leach gitter är till och med unimodulära gitter.

Egenskaper

För ett givet gitter i vektorer så att för alla bildar de också ett gitter som kallas det dubbla gittret till . $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $a\in \Lambda$ $\lambda$
- Ett helt gitter är unimodulärt om och endast om dess dubbla gitter är integral.
- Ett unimodulärt gitter är identiskt med dess dubbla. Av denna anledning kallas unimodulära gitter också självdual .
Udda unimodulära gitter finns för alla signaturer.
Ett jämnt unimodulärt gitter med signatur existerar om och endast om det är delbart med 8. $(m,n)$ $mn$
- I synnerhet existerar även positiva definita unimodulära gitter endast i dimensioner som är delbara med 8.
Thetafunktionen för unimodulära positiva bestämda gitter är den modulära formen .

Applikationer

Den andra kohomologigruppen av slutna enkelt sammankopplade orienterade topologiska fyrdimensionella grenrör är ett unimodulärt gitter. Mikhail Fridman visade att detta gitter praktiskt taget definierar ett grenrör: det finns ett enda grenrör för varje jämnt unimodulärt gitter, och exakt två för varje udda unimodulärt gitter.
- I synnerhet för nollformen innebär detta Poincaré-förmodan för 4-dimensionella topologiska grenrör.
- Donaldsons teorem säger att om ett grenrör är jämnt och dess gitter är positivt bestämt, så måste det vara en kopia av summan av . $\mathbb {Z}$
  - I synnerhet har de flesta av dessa grenrör inte en jämn struktur.

Litteratur

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28 , i Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires , vol. 37, Mongr. Enseign. Math., Genève: L'Enseignement Mathematique, sid. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Arkiverad 28 september 2007 på Wayback Machine
Conway, JH & Sloane, NJA (1999), Sphere packings, lattices and groups , vol. 290 (tredje upplagan), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), A mass formula for unimodular lattices with no roots , Mathematics of Computation vol. 72 (242): 839–863 , DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms , vol. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic , vol. 7, Graduate Texts in Mathematics , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90040-3 , DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Externa länkar

Katalog över Unimodular Lattices av Neil Sloan .
Sloanes A005134: Antal n-dimensionella unimodulära gitter ", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.