Paulis ekvation

Pauli -ekvationen är en ekvation av icke-relativistisk kvantmekanik som beskriver rörelsen av en laddad partikel med spin 1/2 (till exempel en elektron ) i ett externt elektromagnetiskt fält . Föreslog av Pauli 1927 . Ej att förväxla med den grundläggande kinetiska ekvationen , även ibland kallad Pauli-ekvationen.

Pauli-ekvationen är en generalisering av Schrödinger-ekvationen , som tar hänsyn till närvaron av en partikels egen mekaniska rörelsemängd - spinn. En partikel med spinn 1/2 kan vara i två olika spinntillstånd med spinnprojektioner +1/2 och −1/2 på någon (godtyckligt vald) riktning, vanligtvis tagen som z- axeln . I enlighet med detta är vågfunktionen för en partikel (där r är partikelns koordinat , t är tiden ) tvåkomponent: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.

När koordinataxlarna roteras och omvandlas till spinorkomponenter . I rymden av spinorvåg funktioner, den skalära produkten och har formen $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

Operatörerna för fysiska kvantiteter är 2x2-matriser som, för kvantiteter (observerbara) oberoende av spinn, är multiplar av identitetsmatrisen.

På grund av elektrodynamikens allmänna lagar har ett elektriskt laddat system med ett spinmoment som inte är noll också ett magnetiskt moment som är proportionellt mot : (g är det gyromagnetiska förhållandet ). För orbitalmomentet , där e är laddningen, är m partikelns massa; det spinngyromagnetiska förhållandet visar sig vara dubbelt så stort: . I ett externt magnetiskt styrkafält har det magnetiska momentet en potentiell energi , vars tillägg till Hamiltons H för en elektron i ett externt elektronmagnetiskt fält med potentialer och A leder till Pauli-ekvationen: ${\vec {s}}$ ${\vec {s}}$ ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ $g={e\över 2mc}$ $g={e\over mc}$ ${\vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$ $\phi$

i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H))}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\right]\psi

där är momentumoperatorn, är enhetsoperatorn och är proportionell mot spinoperatorn: . ${\hat p}$ ${\hat jag}$ ${\hat \sigma }$ ${\hat s}={\hbar \över 2}{\hat \sigma }$

Pauli-ekvationen, som ursprungligen föreslogs på basis av heuristiska överväganden, visade sig vara en naturlig följd av den relativistiskt invarianta Dirac-ekvationen i den svagt relativistiska approximationen, där endast de första termerna av expansionen i reciproka potenser av ljusets hastighet tas i åtanke. Om styrkan hos det externa magnetfältet inte beror på de rumsliga koordinaterna, sker partikelns omloppsrörelse och förändringen i orienteringen av dess spin oberoende av varandra. I det här fallet har vågfunktionen formen , där är en skalär funktion som följer Schrödinger-ekvationen, och spinorn uppfyller ekvationen $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\Phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)))\chi .

Det följer av denna ekvation att det genomsnittliga värdet av spinnet ligger runt magnetfältets riktning: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi)$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].

Här är cyklotronfrekvensen och är enhetsvektorn längs magnetfältet. Utifrån Pauli-ekvationen kan uppdelningen av elektronnivåer i en atom i ett externt magnetfält beräknas med hänsyn till spinnet ( Zeeman-effekten ). Men finare relativistiska effekter i atomer på grund av elektronspinnet kan endast beskrivas genom att ta hänsyn till de högre termerna för expansionen av den relativistiska Dirac-ekvationen i ömsesidiga styrkor av ljusets hastighet. $\omega _{B}={eB \over mc}$ ${\vec {n}}$

Litteratur

Blokhintsev D. I. Grunderna i kvantmekaniken. - 5:e uppl. - M .: Nauka, 1976. - 664 s., stycke 62.
Davydov A. S. Kvantmekanik. - 2:a uppl. - M .: Nauka, 1973. - 704 s., stycke 63.
Pauli V. Allmänna principer för vågmekanik. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 sid.
Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Quantum electrodynamics. - 4:e upplagan, reviderad. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov. Ed. räkna D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov et al. - M.: Great Russian Encyclopedia, 1992. - V. 3. Magnetoplasmic - Poynting-sats. — 672 sid.

Paulis ekvation

Litteratur

Se även