Lagrangekvationer (vätskemekanik)

Lagrangekvationer (i hydromekanik ) - differentialekvationer för rörelse av partiklar av en inkompressibel idealvätska i Lagrangevariabler , med formen:

\left(X-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial x}{\partial a_{i))} +\left(Y-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial y}{\partial a_{i))}+\ vänster(Z-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial z}{\partial a_{i))}={\frac {1}{\varrho )){\frac {\partial p}{\partial a_{i))},\qquad (i=1,2,3),\qquad (1)

var är tiden, , , är koordinaterna för vätskepartikeln, , , är parametrarna genom vilka partiklarna i mediet särskiljs från varandra (dessa parametrar kan vara koordinaternas värden , , någon gång i tid ), , , är projektioner av kroppskrafter, är trycket, - densitet. Mottaget av J. L. Lagrange omkring 1780. $t$ $x$ $y$ $z$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $x_{0}$ $y_0$ $z_{0}$ $t_0$ $X$ $Y$ $Z$ $sid$ $\varrho$

Lösningen av det allmänna problemet med hydromekanik i Lagrange-variabler reduceras till att veta , , , samt de initiala och randvillkoren, för att bestämma , , , , som funktioner av tid och parametrar , , . För att lösa detta problem är det nödvändigt att till ekvationerna (1) lägga till kontinuitetsekvationen , som har formen i Lagrange-variabler och tillståndsekvationen för barotropisk rörelse eller för en inkompressibel vätska . Om beroenden , , på , , , hittas, bestäms partiklarnas banor, hastigheter och accelerationer av de vanliga metoderna för punktkinematik . $X$ $Y$ $Z$ $x$ $y$ $z$ $sid$ $\varrho$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $\varrho =f(p)$ $\varrho =\mathrm {const}$ $x$ $y$ $z$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $t$

\varrho (a_{1},a_{2},a_{3},t){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial a_{1))}&{\frac {\partial y}{\partial a_{1))}&{\frac {\partial z}{\partial a_{1))}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{2)) }&{\frac {\partial y}{\partial a_{2))}&{\frac {\partial z}{\partial a_{2))}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}=\ varrho _{0}(a_{1},a_{2},a_{3},t_{0}){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{1} }}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{1}}}\\{\frac { \partial x_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z_{0}}{ \partial a_{2))}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{3}} }&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}\qquad \qquad (2)

Vanligtvis, när man löser problem inom hydromekanik , används Euler-ekvationerna . Lagranges ekvationer används huvudsakligen i studien av icke-stationära rörelser - i synnerhet oscillerande rörelser av en vätska, i vissa frågor om teorin om turbulens .

Litteratur

Clark D., McChesney M. Dynamics of real gases. — M .: Mir, 1967. — 566 sid.
Kochin HE , Kibel I. A., Rose N. V. Teoretisk hydromekanik. Del 1. 6:e uppl. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 584 sid.
Kochin HE , Kibel I. A., Rose N. V. Teoretisk hydromekanik. Del 2. 4:e uppl. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 728 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. 5:e uppl. — M .: Nauka, 1988. — 736 sid.
Loytsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas. - M . : Bustard, 2003. - 840 sid. — ISBN 5-7107-6327-6 . .
Prandtl L. Hydroaeromechanics. — M .: Izd-vo inostr. litteratur, 1949. - 520 sid.
Sedov L.I. Kontinuummekanik. Volym 1 . - M. : Nauka, 1970. - 492 sid.
Sedov L.I. Kontinuummekanik. Volym 2 . — M .: Nauka, 1970. — 568 sid.