Påståenden som motsvarar valets axiom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 december 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Den här artikeln överväger olika formuleringar och bevisar motsvarigheten av följande meningar:

Motsvarigheten av dessa påståenden bör förstås i den meningen att vilken som helst av dem, tillsammans med Zermelo-Fraenkel (ZF) systemet av axiom för mängdteori, är tillräckligt för att bevisa resten.

Zorns lemma och Hausdorffs maximiprincip

Uttalanden av Zorns Lemma ( eng. Zorns Lemma ).

$\mathcal{ZL}_1.$ En poset där vilken kedja som helst har en övre gräns innehåller ett maximumelement.

$\mathcal{ZL}_2.$ Om varje kedja i en delvis ordnad uppsättning har en övre gräns, så är varje element i ett visst maximum. $M$ $M$

$\mathcal{ZL}_3.$ Låt en familj av uppsättningar ha egenskapen att föreningen av en kedja av uppsättningar från återigen är en uppsättning av denna familj. Innehåller sedan den maximala uppsättningen. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Uttalanden av Hausdorffs maximala princip :

$\mathcal{HM}_1.$ Varje poset har en maximal linjärt ordnad delmängd

$\mathcal{HM}_2.$ I ett delvis ordnat set ingår varje kedja i några av dess maximala kedjor.

Vi kommer att bevisa likvärdigheten av dessa förslag enligt följande schema:

\mathcal{ZL}_1 \quad \overset{(I)}{\Leftrightarrow} \quad \mathcal{ZL}_2 \quad \overset{(II)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_3 \quad \overset{(III)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_2 \quad \overset{(IV)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_1 \quad \overset{(V)}{ \Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_1

I.\;\mathcal{ZL}_1 {\Leftrightarrow} \mathcal{ZL}_2

Det är tydligt att det följer av , eftersom det större hävdas i: det finns ett maximalt element som är större än det givna . Omvänt, låt vara en poset där varje kedja har en övre gräns, och låt . Låt oss ansöka om uppsättningen . Dess maximala element är också det maximala elementet av , och uppfyller dessutom villkoret . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathcal{ZL}_2$ $\mathcal{ZL}_2$ $a$ $M$ $en \i M$ $\mathcal{ZL}_1$ $M^{'} = \{ m \in M \mid m \geqslant a\}$ ${\overline {a}}$ $M$ $en \leqslant \overline{a}$

II.\;\mathcal{ZL}_2 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_3

Mängdfamiljen är delvis ordnad efter den mängd-teoretiska inklusionsrelationen . Varje kedja av mängder har en övre gräns - det är mängden , som, enligt antagande, tillhör systemet . På grund av detta har familjen ett maximalt element, det vill säga en mängd som är maximal med avseende på inkludering. $\mathfrak{M}$ $\subseteq$ $\{M_{\alpha}\}$ $\bigcup M_{\alpha}$ $\mathfrak{M}$ $\mathcal{ZL}_2$

III.\;\mathcal{ZL}_3 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_2

Låt vara en delvis ordnad uppsättning, vara en kedja i , och vara uppsättningen av alla kedjor i innehållande , ordnad med avseende på inkludering. Förekomsten av en maximal kedja som innehåller nu följer av , som tillämpas på , och det faktum att föreningen av alla uppsättningar av kedjan i (en "kedja av kedjor") är återigen en uppsättning av . $M$ $C_{0}$ $M$ $\mathfrak{M}$ $M$ $C_{0}$ $C_{0}$ $\mathcal{ZL}_3$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

IV.\;\mathcal{HM}_2 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_1

Självklart. är ett specialfall när den ursprungliga kedjan är en tom uppsättning . $\mathcal{HM}_1$ $\mathcal{HM}_2$ $\varnothing$

V.\;\mathcal{HM}_1 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_1

Låt vara ett delvis beställt set i skick . Betrakta en maximal kedja i , vars existens följer av . Enligt antagandet har denna kedja en övre gräns . Då är det maximala elementet av , och tillhör dessutom kedjan. Om vi antar motsatsen kommer vi fram till en motsägelse med det maximala villkoret . $M$ $\mathcal{ZL}_1$ $C$ $M$ $\mathcal{HM}_1$ ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $M$ $C$

Dessa argument bevisar likvärdigheten mellan Hausdorff-maximumprincipen och Zorns lemma.

Zermelos teorem

Uttalande av Zermelos teorem ( välordningsprincip )

$\mathcal{WO}.$ Alla set kan beställas väl.

\mathcal{ZL}_1 \Rightarrow \mathcal{WO}

Låt vara en godtycklig given uppsättning. Låt oss visa att det går att beställa helt. $M$

Betrakta mängden av alla par , där , och är den totala orderrelationen på . På mängden introducerar vi en naturlig ordningsrelation: följer om det finns ett initialt segment , det vill säga om förhållandet för vissa och på mängden sammanfaller med . $\mathfrak{M}$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A\subseteq M$ $\leqslant_A$ $A$ $\mathfrak{M}$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $A = \{ a \i B: a < b\}$ $b\i B$ $A$ $\leqslant_B$ $\leqslant_A$

Därefter bevisar vi två påståenden.

I. Det finns ett maximalt element i B. $\mathfrak{M}$ Detta följer av det faktum att om är en kedja i , då är föreningen av alla element också ett element som är den övre gränsen för kedjan . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $C \in \mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{C}$

II. Om är det maximala elementet, då $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A=M$ . Om den inte var tom skulle vi få ett välordnat set , vars initiala segment är . Detta motsäger det maximala antagandet . $M \setminus A$ $b \in M \setminus A$ $b>a$ $a\i A$ ${\displaystyle A\cup \{b\))$ $A$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$

Därmed har vi ett välordnat set . Q.E.D. $\langle M, \leqslant_M \rangle$

\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{HM}_1

Låt vara ett delvis beställt set. I kraft av Zermelos teorem kan en mängd ordnas helt. Låt vara en välordnande relation på . $\langle M, \preceq \rangle$ $M$ $\leqslant$ $M$

Vi definierar en uppdelning av en mängd i två delmängder genom induktion på en välordnad mängd (denna metod kallas även transfinit rekursion ). $M$ $C$ $\overline{C}$ $\langle M, \leqslant \rangle$

Låt och alla element hänvisas redan antingen till eller till . Vi hänvisar till om det är jämförbart med alla delar av ; annars hänvisar vi till . $en \i M$ $b<a$ $C$ $\overline{C}$ $a$ $C$ $C$ $\overline{C}$

Genom att utföra den induktiva konstruktionen på ett välordnat set på detta sätt får vi seten och . Som framgår av konstruktionen har kedjan i . Dessutom är det klart att det är max. Därmed har vi bevisat Hausdorff-maximumprincipen. $\langle M, \leqslant \rangle$ $C$ $\overline{C}$ $C$ $\langle M, \preceq \rangle$

Axiom of Choice

Formulering av valets axiom .

$\mathcal{AC}.$ För varje familj av icke-tomma set finns det en valfunktion , det vill säga, $\{S_{\alpha}\}, \alpha \i A$ $f$ $\forall\alpha\; f(\alpha) \in S_{\alpha}$

Det räcker för att bevisa likvärdigheten av ett av påståendena . Men nedan är några bevis. $\mathcal{AC}$ $\mathcal{ZL}, \mathcal{HM}, \mathcal{WO}$

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

Se boken Hausdorff, eller Kurosh

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{HM}$

Resonemanget liknar det som används i bevisningen . $\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

$\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Låt oss beställa var och en och sedan definiera urvalsfunktionen som minimielementet i uppsättningen: $\{S_{\alpha}\}$

f(\alpha) = \min S_{\alpha}

$\mathcal{ZL} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Se Kuroshs bok

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. - M . : "NAUKA", 1977. - 368 sid.
Kolmogorov AN, Fomin SV Element i funktionsteorin och funktionsanalys. - 7:e uppl. - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra. - 2:a uppl. - M . : "NAUKA", 1973. - 400 sid.
Hausdorff F. Mängdlära. - 4:e uppl. - M. : URSS, 2007. - 304 sid. - ISBN 978-5-382-00127-2 .