Larmor formel

Larmorformeln används för att beräkna den totala effekten som avges av en icke-relativistisk punktladdning när den accelererar . Det erhölls först av Joseph Larmor 1897 [1] i samband med vågteorin om ljus .

När någon laddad partikel (som en elektron , proton eller jon ) accelereras, utstrålas energi i form av elektromagnetiska vågor . För partikelhastigheter som är små jämfört med ljusets hastighet , ges den totala utstrålade effekten av Larmors formel:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \över 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( SI-enheter )

{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3))))

( CGS enheter )

där eller är accelerationen, är laddningen, är ljusets hastighet, är den elektriska konstanten . Den relativistiska generaliseringen ges av Lienard-Wiecherts potentialer . ${\dot {v))$ $a$ $q$ $c$ $\varepsilon _{0}$

I vilket enhetssystem som helst kan effekten som utstrålas av en elektron uttryckas i termer av elektronens klassiska radie och elektronens massa som:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

En konsekvens är att en elektron som kretsar kring kärnan, som i Bohr-modellen , måste förlora energi, falla på kärnan och atomen måste kollapsa. Denna gåta löstes inte förrän kvantmekaniken byggdes .

Slutsats

Med Lienard-Wiecherts potentialformel kan de elektriska och magnetiska fälten för en rörlig laddning skrivas som:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta ))}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

och

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

där är laddningshastigheten dividerad med , är laddningsaccelerationen dividerad med c , är enhetsvektorn i riktningen , är modulen för radievektorskillnaden , är laddningsradievektorn och . Termerna till höger utvärderas vid lagtid . ${\boldsymbol {\beta ))$ $c$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta ))))$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2))$ $t_{\text{r}}=tR/c$

Den högra sidan är summan av de elektriska fält som är associerade med hastigheten och accelerationen hos en laddad partikel. Den första termen beror bara på , medan den andra beror på både och och vinkeln mellan dem. Eftersom den första termen är proportionell mot minskar dess absoluta värde mycket snabbt med avståndet. Å andra sidan är den andra termen proportionell mot , vilket betyder att dess absoluta värde minskar mycket långsammare med avståndet. På grund av detta är den andra termen strålningsfältet och är ansvarig för det mesta av energiförlusten av den accelererande laddningen. ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta ))))$ $1/R^{2}$ $1/R$

Vi kan hitta energiflödestätheten för strålning genom att beräkna Poynting-vektorn :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},

där underskriften "a" understryker att vi bara tar den andra termen från Lienard-Wiecherts formel. Under antagandet att partikeln är i vila i tiden [2] har vi: $t_{\text{r))$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ punkt {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Om vi introducerar - vinkeln mellan accelerationen och observationsvektorn och accelerationen så är kraften som utstrålas per enhet rymdvinkel lika med $\theta$ $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta ))}c$

d P d Ω = q 2 4 π c sin 2 ⁡ ( θ ) a 2 c 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

Den totala utstrålade effekten hittas genom att integrera denna kvantitet över alla rymdvinklar (det vill säga över och ). Detta ger $\theta$ $\phi$

P = 2 3 q 2 a 2 c 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

vilket är Larmors formel för en icke-relativistisk accelererad laddning. Den relaterar kraften som avges av en partikel till dess acceleration. Av den syns tydligt att ju snabbare laddningen accelererar, desto större blir strålningen. Detta kan förväntas, eftersom strålningsfältet beror på accelerationen.

Relativistisk generalisering

Kovariant form

Den icke-relativistiska Larmor-formeln skriven i termer av momentum p har formen (i CGS-enheter) [3]

P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | p ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.

Potensen P kan visas vara Lorentz-invariant . Därför måste varje relativistisk generalisering av Larmorformeln relatera P till någon annan Lorentz-invariant kvantitet. förekommer i den icke-relativistiska formeln antyder att den relativistiskt korrekta formeln måste inkludera 4-skalären som erhålls genom att ta prickprodukten av 4-accelerationen a μ = dp μ / d τ med sig själv (här p μ = (γ mc , γ m v ) − 4-impuls ). Korrekt relativistisk generalisering av Larmor-formeln (i CGS-enheter) $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Det kan visas att denna faltning bestäms av uttrycket

d p μ d τ d p μ d τ = β 2 ( d p d τ ) 2 − ( d p d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p}}}{d\tau }}\right)^{2},$

och därför, i gränsen β ≪ 1 , minskar den till , och reproducerar därigenom det icke-relativistiska fallet. $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

Icke-kovariant form

Ovanstående faltning kan också skrivas i termer av β och dess tidsderivata. Sedan den relativistiska generaliseringen av Larmor-formeln (i cgs-enheter)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ fetsymbol {\beta }}\ gånger {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Detta är Lienards resultat , som först erhölls 1898. betyder att när Lorentz-faktorn är mycket nära enhet (dvs. ) är strålningen som sänds ut av partikeln försumbar. Men när , strålningen växer, liksom , eftersom partikeln förlorar sin energi i form av elektromagnetiska vågor. Dessutom, när acceleration och hastighet är ortogonala, minskar effekten med , det vill säga koefficienten blir . Ju snabbare partikeln rör sig, desto större blir denna sammandragning. $\gamma ^{6}$ ${\textstil \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))))$ $\beta \ll 1$ $\beta \rightarrow 1$ $\gamma ^{6}$ $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ $\gamma ^{6}$ $\gamma ^{4}$

Anteckningar

↑ Larmor J (1897). "LXIII. Om teorin om magnetiskt inflytande på spektra; och på strålningen från rörliga joner” . Filosofisk tidskrift . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Arkiverad från originalet 2022-01-24 . Hämtad 2022-01-24 . Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)Formeln nämns i texten på sista sidan.
↑ fallet när det är svårare. Den recenseras till exempel i Griffiths, 2017 . $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Litteratur

J. Larmor, "On a dynamic theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) s. 205-300 (Tredje och sista i en serie artiklar med samma titel).
J. Jackson. Klassisk elektrodynamik / I. G. Nakhimson. - Moskva, 1:a Riga körfältet, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitation / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
R.P. Feynman . Feynman föreläsningar om gravitation / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Introduktion till elektrodynamik . — 4:a. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . - doi : 10.1017/9781108333511 .