Plücker formel
Plückerformeln är en i en familj av formler som utvecklades av den tyske matematikern och fysikern Plücker på 1830-talet. Formlerna relaterar några invarianter av algebraiska kurvor och invarianter av deras dubbla kurvor. En invariant som kallas ett släkte , som är gemensam både för en kurva och för dess dubbla kurva, är relaterad till andra invarianter med liknande formler. Dessa formler och det faktum att var och en av dessa invarianter måste vara ett positivt heltal sätter strikta begränsningar för de möjliga värdena för invarianterna.
Plücker invarianter och grundläggande ekvationer
En kurva i detta sammanhang ges av en icke-degenererad algebraisk ekvation i det komplexa projektiva planet . Linjerna i detta plan motsvarar punkter i det dubbla projektiva planet , medan linjerna som tangerar en given algebraisk kurva C motsvarar punkter på den algebraiska kurvan C * , som kallas den dubbla kurvan . Punkterna i kurvan C motsvarar linjer som tangerar C * , så den dubbla kurvan för C * är C .
De två första invarianterna som ingår i Plückers formler är graden d för kurvan C och graden d * , kallad klassen för kurvan C . Geometriskt är d antalet skärningspunkter för en godtycklig linje och C , inklusive komplexa punkter och punkter i oändligheten, med multiplicitet beaktad. Klassen d * är antalet tangenter till C som passerar genom en godtycklig punkt på planet. Till exempel har en konisk sektion både grad och klass 2. Om kurvan C inte har några singulära punkter anger Plückers första formel att
men för kurvor med singulära punkter måste formeln korrigeras.
Låt δ vara antalet vanliga dubbla punkter på kurvan C , det vill säga har olika tangenter (sådana punkter kallas självskärningspunkter ) eller isolerade , och κ antalet cusps , det vill säga punkter som har en enda tangent. Om kurvan C har singulariteter av högre grad, betraktas de som flera singulariteter, enligt analysen av singularitetens natur. Till exempel räknas en vanlig trippelpoäng som tre dubbelpoäng. Återigen, imaginära punkter och punkter i oändligheten räknas också. Den förfinade formen av den första Plücker-likheten har formen
På liknande sätt, låt δ * vara antalet vanliga dubbelpunkter och κ * vara antalet spetsar på kurvan C * . Plückers andra formel säger det
Den geometriskt vanliga dubbelpunkten för kurvan C * är en rät linje som tangerar kurvan vid två punkter ( bitangental ), och kurvans C * är böjningspunkten .
De två första Plücker-ekvationerna har dubbla versioner:
Dessa fyra likheter är i själva verket inte oberoende, så vilka tre som helst kan användas för att härleda en fjärde. Om vilka som helst tre av de sex invarianterna d , d * , δ, δ * , κ och κ * ges , då kan de återstående tre beräknas utifrån dem.
Slutligen kan det geometriska släktet för kurvan C bestämmas med formeln
Denna jämlikhet är likvärdig med den dubbla
.
Totalt har vi fyra oberoende ekvationer med sju okända, och givet tre okända kan de återstående fyra beräknas.
Kurvor utan speciella punkter
Ett viktigt specialfall är när kurvan C inte har några singulära punkter, det vill säga δ och κ är lika med 0, så de återstående invarianterna kan beräknas endast i termer av d :
Till exempel har en platt kvarts utan singulära punkter genus 3, 28 bitangenter och 24 inflexionspunkter.
Kurvtyper
Kurvor klassificeras i typer enligt deras Plücker-invarianter. Plücker-ekvationerna, tillsammans med begränsningen att invarianterna måste vara naturliga tal, begränsar kraftigt antalet möjliga typer av kurvor av en given grad. Projektivt ekvivalenta kurvor måste vara av samma typ, men kurvor av samma typ är i allmänhet inte projektivt ekvivalenta. Kurvor av grad 2 - koniska sektioner - har en enda typ, givet av likheterna d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.
För kurvor av grad 3 är tre typer med invarianter möjliga [1]
| Sorts | d | d * | δ | δ * | κ | * _ | g |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (i) | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 9 | ett |
| (ii) | 3 | fyra | ett | 0 | 0 | 3 | 0 |
| (iii) | 3 | 3 | 0 | 0 | ett | ett | 0 |
Kurvor av typerna (ii) och (iii) är rationella kubiska kurvor, med en vanlig dubbelpunkt respektive en cusp. Kurvor av typ (i) har inga singulära punkter ( elliptiska kurvor ).
För kurvor av grad 4 finns det 10 möjliga typer med invarianter [2]
| Sorts | d | d * | δ | δ * | κ | * _ | g |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (i) | fyra | 12 | 0 | 28 | 0 | 24 | 3 |
| (ii) | fyra | tio | ett | 16 | 0 | arton | 2 |
| (iii) | fyra | 9 | 0 | tio | ett | 16 | 2 |
| (iv) | fyra | åtta | 2 | åtta | 0 | 12 | ett |
| (v) | fyra | 7 | ett | fyra | ett | tio | ett |
| (vi) | fyra | 6 | 0 | ett | 2 | åtta | ett |
| (viii) | fyra | 6 | 3 | fyra | 0 | 6 | 0 |
| (viii) | fyra | 5 | 2 | 2 | ett | fyra | 0 |
| (ix) | fyra | fyra | ett | ett | 2 | 2 | 0 |
| (x) | fyra | 3 | 0 | ett | 3 | 0 | 0 |
Anteckningar
Länkar
- Griffiths F., Harris J. Principer för algebraisk geometri. - 1982. - T. 1-2, per. från engelska..
- Kleiman S.L. Framgång i matematik. Vetenskaper. - 1980. - T. 35 , nr. 6 . - S. 69-148 .
- Savelov A.A. Platta kurvor. Systematik, egenskaper, tillämpningar. - Moskva: Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1960.
- Lax, George . A Treatise on the Higher Plane Curves , 1879, s. 64ff.