Gauss area formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 januari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Gaussisk areaformel ( översiktsformel eller snörningsformel eller snörningsalgoritm ) är en formel för att bestämma arean av en enkel polygon vars hörn ges av kartesiska koordinater i planet. I formeln bestämmer korsprodukten av koordinaterna och additionen arean av området som omsluter polygonen och subtraherar sedan arean av den omgivande polygonen från den, vilket ger polygonens area inuti. Det kallas också snörningsformeln, eftersom de positiva och negativa termerna, som består av multiplicerade koordinater, är ordnade på tvären, som när man knyter skosnören. Den finner tillämpning inom geodesi, skogsbruk och andra områden.

Formeln beskrevs av Meister (1724-1788) 1769 och av Gauss 1795. Det kan verifieras genom att dela en polygon i trianglar, men det kan också ses som ett specialfall av Greens teorem .

Formeln för bestämning av arean bestäms genom att ta varje kant av polygonen AB och beräkna arean av triangeln ABO med en vertex vid origo O genom koordinaterna för hörnen. När man går runt polygonen bildas trianglar, inklusive insidan av polygonen och placeras utanför den. Skillnaden mellan summan av dessa områden är själva polygonens yta. Därför kallas formeln för lantmätarens formel, eftersom "kartografen" är vid ursprunget; om det går paketet moturs, läggs området till om det är till vänster och subtraheras om det är till höger från utgångspunktens synvinkel.

Areaformeln är giltig för alla självskärande polygoner, som kan vara konvexa eller konkava.

Definition

Formeln kan representeras av följande uttryck:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i +1}+x_{n}y_{1}-\summa _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}\right|= \\&={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\dots +x_{n-1}y_{n}+x_{n }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\dots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|,\end {Justerat}}

var

S är arean av polygonen, n är antalet sidor av polygonen, ( x i , y i ), i = 1, 2, …, n är koordinaterna för polygonens hörn.

En annan representation av samma formel [1] [2] :

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+ 1 }-y_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\summa _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i +1}-x_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\summa _{i=1}^{n}x_{i}y_ { i+1}-x_{i+1}y_{i}\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}\ det {\begin{pmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|,\end{aligned}}

var

x n +1 \ u003d x 1 , x 0 \ u003d x n , yn + 1 = y1 , yo = yn . _ _ _

Om punkterna numreras sekventiellt i moturs riktning, är determinanterna i formeln ovan positiva, och modulen i den kan utelämnas; om de är numrerade i medurs riktning kommer determinanterna att vara negativa. Detta beror på att formeln kan ses som ett specialfall av Greens teorem.

Exempel

För att tillämpa formeln måste du känna till koordinaterna för polygonens hörn i det kartesiska planet. Låt oss till exempel ta en triangel med koordinaterna {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Ta den första x -koordinaten för den första vertexen och multiplicera den med y -koordinaten för den andra vertexen, och multiplicera sedan x -koordinaten för den andra vertexen med y -koordinaten för den tredje. Vi upprepar denna procedur för alla hörn. Resultatet kan bestämmas med följande formel [3] :

\mathbf {S} _{\text{tri.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|,

där x i och y i betecknar motsvarande koordinat. Denna formel kan erhållas genom att öppna parenteserna i den allmänna formeln för fallet n = 3. Med denna formel kan du hitta att arean av triangeln är halva summan av 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, vilket ger 3.

Antalet variabler i formeln beror på antalet sidor i polygonen. Till exempel kommer formeln för arean av en femhörning att använda variabler upp till x 5 och y 5 :

\mathbf {S} _{\text{pent.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3} -x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|.

S för fyrhörning - variabler upp till x 4 och y 4 :

\mathbf {S} _{\text{quad.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4} |.

Ett mer komplext exempel

Betrakta polygonen som visas i figuren och definieras av punkterna (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

Arean av denna polygon är:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}|3\ gånger 11+5\ gånger 8+12\ gånger 5+9\ gånger 6+5\ gånger 4-{}\\&\qquad -4\ gånger 5-11\ gånger 12-8\ gånger 9-5\ gånger 5-6\ gånger 3|=\\&={\frac {60}{2)) =30.\end{aligned}}

Namn Förklaring

Formeln kallas skosnörsformeln på grund av den allmänna metoden som används för att beräkna den. Denna metod använder en matris . Som ett exempel, låt oss ta en triangel med hörn (2, 4), (3, −8), (1, 2). Sedan bygger vi följande matris, "går runt" triangeln och slutar med startpunkten:

{\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix)).

Rita först en diagonal nedåt och till höger med ett snedstreck, som visas nedan:

och multiplicera par av tal sammankopplade med en stapel, och lägg sedan till alla summor:

(2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = -6.

Låt oss göra detsamma genom att skära diagonalt nedåt och till vänster, som visas nedan:

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Sedan subtraherar vi summan av den andra gruppen från den första och tar modulen:

|(−6) − (8)| = 14.

Att dividera resultatet med två ger arean. Att organisera siffrorna i en matris med diagonala linjer gör det lättare att komma ihåg formeln. Som ett resultat av operationen som görs med att rita diagonala (snedställda) linjer, liknar matrisen med siffror snörskor, därav kommer namnet "snörningsalgoritm" från.

En bra beskrivning av "Gauss Lacing" presenteras i videon på Wild Mathing-kanalen [1]

Se även

Anteckningar

↑ Shoelace Theorem Arkiverad 23 september 2020 på Wayback Machine , Art of Problem Solving Wiki .
↑ Weisstein, Eric W. Polygonområde . wolfram mathworld . Hämtad 24 juli 2012. Arkiverad från originalet 12 maj 2012. (obestämd)
↑ Richard Rhoad; George Milauskas; Robert Whipple. Geometri för njutning och utmaning . — ny. – McDougal Littell, 1991. - S. 717-718 . - ISBN 0-86609-965-4 .