Fredholm operatör

En Fredholm-operator , eller en Noetherian-operator , är en linjär operator mellan vektorrum (vanligtvis av oändlig dimension) vars kärna och kokkärna är ändliga dimensionella. Med andra ord, låt X, Y vara vektorrum. En operatör heter Fredholm if $T:X\to Y$

${\mathrm {dim}}\,\ker T<\infty$ ,
${\mathrm {dim}}\;{\mathrm {kokare}}\,T<\infty$ .

En operatör mellan änddimensionella rum är alltid Fredholm.

Vanligtvis övervägs konceptet för Banach-utrymmen och operatören antas vara avgränsad.

Det bör också noteras att en Fredholm-operatör enligt sin definition alltid är lösbar .

Fredholm operatörsindex

För sådana operatörer är konceptet med operatörsindex vettigt :

{\mathrm {ind}}\,T={\mathrm {dim}}\,\ker T-{\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T

För varje konkret given finns det dessutom en Fredholm-operatör med index n. $n\in {\mathbb {Z}}$

Transformationer av Fredholm-operatorer

Anknytning till Fredholmsoperatören är också Fredholm: . Dessutom finns det ett en-till-en-förhållande mellan dessa operatörers index: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow T^{{'}}\in {\mathcal {N}}(Y^{{'}},\;X^{{ ')))$ ${\mathrm {ind}}\,T^{{'}}=-{\mathrm {ind}}\,T$
Sammansättningen av Fredholm-operatorer är en Fredholm-operator, och dess index är ( Atkinsons teorem ) ${\mathrm {ind}}\,TS={\mathrm {ind}}\,T+{\mathrm {ind}}\,S$
Den kompakta störningen bevarar fastigheten Fredholm och operatörens index: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in {\mathcal {N} }(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm {ind}}\,T$
Fredholmsfastigheten och indexet är också bevarade under tillräckligt små avgränsade störningar, det vill säga . Med andra ord är uppsättningen öppen i uppsättningen av avgränsade operatorer. $\forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\exists \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\| S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm { ind}}\,T$ ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$

Fredholms sats

K\in {\mathcal {K}}(X,\;X)\Högerpil ({\mathrm {I_{X}}}-K)

är Fredholm (här är identitetsoperatören på X).

{\mathrm {I_{X))}

Kriterier för att vara fredholmsk

Noethers kriterium: T är Fredholm om, om och endast om T är nästan inverterbar , det vill säga den har en nästan invers operator.
Nikolskys kriterium: T är Fredholm om och endast om T är nedbrytbart till en summa S+K, där S är inverterbar och K är kompakt . Eller, vilket är detsamma: , där är uppsättningen av reversibla linjära operatorer . ${\mathcal {N}}(X,\;Y)={\mathrm {Inv}}(X,\;Y)\,+\,{\mathcal {K}}(X,\;Y)$ ${\mathrm {Inv}}(X,\;Y)$

Litteratur

Kutateladze S. S. Fundamentals of functional analysis. - 3:e uppl. - Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 2000. - 336 s. — ISBN 5-86134-074-9 . .