Fuchsian modell

En fuchsisk modell är en representation av en hyperbolisk Riemann-yta R som en faktoryta av det övre halvplanet H med avseende på den fuchsiska gruppen . Vilken hyperbolisk Riemann-yta som helst tillåter en sådan representation. Konceptet är uppkallat efter Lazar Fuchs .

En mer exakt definition

Enligt uniformiseringssatsen är vilken Riemann-yta som helst elliptisk , parabolisk , eller hyperbolisk . Mer exakt anger denna sats att en Riemannyta som inte är isomorf till vare sig Riemann-sfären (i det elliptiska fallet) eller faktorytan på en komplex yta med avseende på den diskreta undergruppen (i det paraboliska fallet) måste vara faktorytan av det hyperboliska planet med avseende på undergruppen som verkar helt diskontinuerligt och fritt . $R$ $\mathbb {H}$ $\Gamma$

I Poincaré-modellen i det övre halvplanet för det hyperboliska planet är gruppen biholomorfa transformationer en homografiskt verkande grupp , och uniformeringssatsen betyder att det finns en vridningsfri diskret undergrupp så att Riemannytan är isomorf . En sådan grupp kallas en fuchsisk grupp, och en isomorfism kallas en fuchsisk modell för . $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$ $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

Fuchsiska modeller och Teichmüller utrymme

Låt vara en sluten hyperbolisk yta och låt vara en fuchsisk grupp som är en fuchsisk modell för . Låta $R$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

{\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\))

Här är uppsättningen av alla effektiva och diskreta representationer med topologi som genereras av punktkonvergens (kallas ibland "algebraisk konvergens") [1] . I detta speciella fall kan topologin enklast definieras enligt följande: gruppen genereras ändligt eftersom den är isomorf till den fundamentala gruppen . Låt vara en genereringsmängd, då någon bestäms av elementen och vi kan identifiera med delmängden mappningen . Således ställer vi in topologin för underrummet. $A(\Gamma )$ $\rho$ $\Gamma$ $R$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r))$ $\rho \in A(\Gamma )$ $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ $A(G)$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r))$ $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$

Nielsens isomorfismteorem (detta är inte standardterminologi och detta resultat är inte direkt relaterat till Dehn-Nielsen-satsen ) säger sedan följande [2] :

För varje representation finns det en auto- homeomorfism (faktiskt en kvasi-konform kartläggning ) av det övre halvplanet , så att för alla .

\rho \in A(G)

h

\mathbb {H}

h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )

\gamma \in G

Beviset är mycket enkelt - välj en homeomorfism och lyft den till det hyperboliska planet. Att ta en diffeomorfism ger en kvasi-konform mappning, eftersom den är kompakt. $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ $R$

Detta kan ses som en likvärdighet mellan två modeller för Teichmüller-rummet [1] - uppsättningen av diskreta effektiva representationer av den fundamentala gruppen [3] i cosets och uppsättningen av märkta Riemann-ytor , där är en kvasikonformal homeomorfism av den naturliga ekvivalensen relation. $R$ $\pi _{1}(R)$ $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $(X,f)$ $f\colon R\to X$

Se även

Klein modell , en liknande konstruktion för 3D-grenrör
Grundläggande polygon

Anteckningar

↑ 1 2 Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , sid. 12.
↑ Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , sid. 12, sats 0,17.
↑ Uppsättningen av homotopiklasser av loopar med en produkt av loopar från en punkt i rymden kallas en fundamental grupp med en markerad punkt och betecknas med . Om är ett väg-anslutet utrymme , så, upp till isomorfism, är den grundläggande gruppen inte beroende av den markerade punkten, och för sådana utrymmen kan man skriva istället för . Se grundgrupp $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $X$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Litteratur

Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperboliska grenrör och kleinska grupper. - Oxford university press, 1998. - ISBN 0-19-850062-9 .