Fuchs grupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 januari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Den fuchsiska gruppen är en diskret undergrupp av gruppen PSL(2, R ) . Gruppen kan ses som gruppen av rörelser av det hyperboliska planet , eller konforma avbildningar av enhetsskivan, eller konforma avbildningar av det övre halvplanet . Följaktligen kan en fuchsisk grupp betraktas som en grupp som agerar på något av dessa utrymmen. I andra tolkningar definieras en fuchsisk grupp som en grupp med ett ändligt antal generatorer , eller som en undergrupp som innehåller orienteringsbevarande element. Det är också acceptabelt att definiera en fuchsisk grupp som en kleinian (diskret grupp av PSL(2, C ) ) som är konjugerad till en undergrupp av . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Fuchsiska grupper används för att skapa en fuchsisk modell av Riemann-ytor . I det här fallet kan gruppen kallas den fuchsiska ytgruppen . På sätt och vis gör fuchsiska grupper för icke-euklidisk geometri vad kristallografiska grupper gör för euklidisk geometri . Några av Eschers ritningar är baserade på fuchsiska grupper (för skivmodellen av Lobachevskys geometri ).

Allmänna fuchsiska grupper var de första som studerades av Henri Poincaré [1] , som blev intresserad av artikeln av Lazarus Fuchs [2] , och detta namn kommer från hans namn.

Fuchsiska grupper på det övre halvplanet

Låt vara det övre halvplanet . Sedan finns en modell av det hyperboliska planet som är försedd med metriken $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ ${\mathbb {H}}$

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

Gruppen PSL(2, R ) verkar på en fraktionerad linjär transformation (som är känd som Möbius-transformationen ): ${\mathbb {H}}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d)).

Denna åtgärd är effektiv och faktiskt isomorf för gruppen av alla orienteringsbevarande rörelser av . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

En fuchsisk grupp kan definieras som en undergrupp till en grupp som agerar diskontinuerligt på . Det är $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

För varje z har banorna inga gränspunkter i . ${\mathbb {H}}$ ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma}z\kolon \gamma \in \Gamma \))$ ${\mathbb {H}}$

En motsvarande definition är en fuchsisk grupp när . Det betyder att: $\Gamma$ $\Gamma$

Varje sekvens av element som konvergerar till identitetselementet i den vanliga topologin för punktvis konvergens är i slutändan konstant, det vill säga det finns ett heltal N så att för varje n > N , där E är identitetsmatrisen. $\{\gamma _{n}\}$ $\Gamma$ $\gamma _{n}=E$

Även om diskontinuitet och diskretitet är likvärdiga i detta fall, är detta inte sant för fallet med godtyckliga grupper av konforma homeomorfismer som verkar på hela Riemann-sfären (i motsats till ). Dessutom är den fuchsiska gruppen diskret men har gränspunkter på den reella linjen Im z = 0 - element kommer att ha z = 0 för alla rationella tal, och rationella tal är täta i . ${\mathbb {H}}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Grundläggande definition

Den linjär-fraktionerade transformationen, definierad av en matris av , bevarar Riemann-sfären , men skickar det övre halvplanet till någon öppen disk . Transformationskonjugatet till en sådan transformation skickar en diskret undergrupp till en diskret undergrupp av gruppen samtidigt som den bevaras . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ ${\mathbb {H}}$ $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta$

Detta ger upphov till följande definition av en fuchsisk grupp . Låt agerar oföränderligt på sin egen öppna disk , det vill säga . Då är Fuchsian om och endast om någon av följande likvärdiga egenskaper gäller: $\Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ $\Gamma (\Delta )=\Delta$ $\Gamma$

$\Gamma$ är en diskret grupp (med hänsyn till standardtopologin på ). $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$
$\Gamma$ agerar korrekt diskontinuerligt vid varje punkt . $z\in \Delta$
uppsättningen är en delmängd av diskontinuitetsregionen för . $\Delta$ $\Omega (\Gamma )$ $\Gamma$

Det vill säga att vilken som helst av dessa tre egenskaper kan användas som en definition av en fuchsisk grupp, de andra följer av den valda definitionen som ett teorem. Föreställningen om en riktig invariant diskontinuerlig delmängd är viktig. Den så kallade Picard-gruppen är diskret, men bevarar ingen skiva i Riemann-sfären. Dessutom verkar inte ens den modulära gruppen , som är en fuchsisk grupp, diskontinuerligt på den verkliga linjen. Den har gränspunkter i rationella tal . Likaså är idén om vad som är en riktig delmängd av diskontinuitetsregionen viktig. Om detta inte finns, kallas undergruppen en Kleinian-grupp . $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\Delta$

Vanligtvis tas antingen en öppen enhetsskiva eller ett övre halvplan som ett invariant område . $\Delta$

Limit sets

Med tanke på åtgärdens diskrethet har omloppsbanan för punkten z i det övre halvplanet under aktionen inga kondensationspunkter i det övre halvplanet. Det kan dock finnas gränspunkter på den verkliga axeln. Låt vara gränsen för gruppen , det vill säga uppsättningen av gränspunkter för . Sedan . Gränsuppsättningen kan vara tom eller bestå av en eller två punkter, eller den kan bestå av ett oändligt antal. I det senare fallet finns det två alternativ: ${\Gamma }z$ $\Gamma$ $\Lambda (\Gamma )$ $\Gamma$ ${\Gamma }z$ $z\in \mathbb {H}$ $\Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$

En fuchsisk grupp av den första typen är en grupp för vilken gränsvärdet är en sluten reell linje . Detta händer när kvotutrymmet har ändlig volym, men det finns fuchsiska grupper av det första slaget med oändlig samvolym. $\mathbb {R} \cup \infty$ $\mathbb {H} /\Gamma$

Annars sägs den fuchsiska gruppen vara av den andra typen . På motsvarande sätt är det en grupp för vilken gränsuppsättningen är en perfekt uppsättning , det vill säga en ingenstans tät uppsättning på . Eftersom det inte är någonstans tätt, följer det att vilken gränspunkt som helst är godtyckligt nära någon öppen uppsättning som inte hör till gränsuppsättningen. Med andra ord är gränsen som sätts Cantor-uppsättningen . $\mathbb {R} \cup \infty$

Typen av en fuchsisk grupp behöver inte vara densamma om den betraktas som en kleiniansk grupp - i själva verket är alla fuchsiska grupper kleinska grupper av den andra typen, eftersom deras gränsmängder (som kleinska grupper) är riktiga delmängder av Riemann-sfären finns i någon krets.

Exempel

Ett exempel på en fuchsisk grupp är den modulära gruppen . Det är en undergrupp av gruppen som består av linjär-fraktionella transformationer $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,R)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

där a , b , c , d är heltal. Kvotutrymmet är modulrummet för elliptiska kurvor . $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$

Fuchsiska grupper inkluderar också grupper för varje n > 0. Här består den av linjär-fraktionella transformationer av ovanstående form, där elementen i matrisen $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

är jämförbara med elementen i identitetsmatrisen med avseende på submodulen n .

Ett kokompakt exempel är den (vanliga) triangelgruppen (2,3,7) (genom rotationer), som innehåller alla de fuchsiska grupperna i Klein quartic och McBeath ytor , som andra Hurwitz-grupper . Mer generellt är varje hyperbolisk von Dyck - grupp (en undergrupp av triangelgruppen med index 2 som motsvarar orienteringsbevarande rörelser) en fuchsisk grupp.

Alla av dem är fuchsiska grupper av det första slaget .

Alla hyperboliska och paraboliska cykliska undergrupper i gruppen är Fuchsiska. $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$
Varje elliptisk cyklisk undergrupp är fuchsisk om och endast om den är ändlig.
Alla Abelian Fuchsian-grupper är cykliska.
Ingen fuchsisk grupp är isomorf . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Låt vara en icke-abelsk fuchsisk grupp. Då är gruppens normaliserare Fuchsian. $\Gamma$ $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Metriska egenskaper

Om h är ett hyperboliskt element, är translationslängden L för grupphandlingen i det övre halvplanet relaterad till spåret av h som en matris genom relationen $2\times 2$

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2)).

En liknande egenskap gäller för systolen för motsvarande Riemann-yta om den fuchsiska gruppen är vridningsfri och kokompakt.

Se även

Kvasi-fuchsisk grupp
Icke-euklidisk kristallografisk grupp
Schottky group

Litteratur

Lazarus Fuchs . Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rational Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Math.. - 1880. - T. 89 . — S. 151–169 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Se avsnitt 1.6 // Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group. — Providence R.I.: American Mathematical Society . — ISBN 978-0-8218-1392-8 .
Henryk Iwaniec . Se kapitel 2. // Spectral Methods of Automorphic Forms, andra upplagan. - Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. - V. 53. - ( Graduate Studies in Mathematics ). - ISBN 978-0-8218-3160-1 .
Svetlana Katok . Fuchsiska grupper. - Chicago: University of Chicago Press, 1992. - ISBN 978-0-226-42583-2 .
David Mumford , Caroline Series, David Wright. Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 978-0-521-35253-6 . .
Peter J. Nicholls. Den ergodiska teorin om diskreta grupper. - Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - V. 143. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-37674-7 .
Henri Poincare . Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica . - Springer Nederländerna, 1882. - T. 1 . — S. 1–62 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02592124 .
Ernest B. Winberg . Matematisk uppslagsverk / chefredaktör I.M. Vinogradov. - Sovjetiskt uppslagsverk, 1977. - V. 5.