Euler delvis beställt set

I kombinatorik är en Euler-poset en graderad poset där alla icke-triviala intervall har samma antal element av jämna och udda rangordningar. En Euler delvis ordnad uppsättning som är ett gitter kallas för ett Eulergitter . Föremålen är uppkallade efter Leonhard Euler . Euler-gitter är en generalisering av ansiktsgitter konvexa polyedrar , och mycket aktuell forskning ägnas åt att utöka välkända resultat av kombinatorik av polyedrar , såsom olika restriktioner på f -vektorerna för konvexa enkla polytoper , till mer allmänna fall.

Exempel

• Ansiktsgittret en konvex polyeder , som består av dess ytor, tillsammans med det minsta elementet, den tomma ytan, och det största elementet, själva polyederen, är ett Euler-gitter. Det jämna/udda villkoret följer av Eulers formel .
• Varje enkel sfär av generaliserad homologi är ett Euler-gitter.
• Låt L vara ett regelbundet cellkomplex så att | l | är ett grenrör med samma Euler-egenskaper som en hypersfär av samma dimension (villkoret är meningslöst om dimensionen är udda). Sedan är en partiellt ordnad uppsättning celler L med en ordning som bestäms av inkluderingen av deras förslutningar Euler.
• Låt W vara en Coxeter-grupp med Bruhat-ordning . Sedan ( W ,≤) är en Euler-poset.

Egenskaper

• Villkoren i definitionen av en Euler partiellt ordnad mängd P kan uttryckas ekvivalent i termer av Möbius-funktionen :

för alla

• Den dubbla Euler-poset som erhålls genom att vända den partiella ordningen är Euler.
• Richard Stanley introducerade konceptet med en torisk h -vektor av en rankad poset , som generaliserar ''h''-vektorn en enkel polytop [1] . Han bevisade att Dehn-Somervilles ekvationer

håll för godtyckliga Euler-poser av rang d  + 1 [2] . Emellertid, för Euler-positer som är ett resultat av regelbundna cellkomplex eller konvexa polyedrar, varken definierar eller bestäms den toriska h -vektorn av antalet celler eller ytor av olika dimensioner, och den toriska h -vektorn har ingen direkt kombinatorisk tolkning.

Se även

• Abstrakt polyeder
• Stjärnprodukt , en metod för att kombinera posetter som bevarar posets Euler-egenskap

Anteckningar

1. ↑ Stanley, 1997 , sid. 138.
2. ↑ Stanley, 1997 , sid. Sats 3.14.9.

Litteratur

• Richard P Stanley. Enumerativ kombinatorik. - Cambridge University Press, 1997. - Vol. 1. - ISBN 0-521-55309-1 .