Elektriskt flöde

Elektriskt flöde är flödet av vektorn för elektrisk fältstyrka ( ) eller elektrisk induktion ( ) genom någon yta . Det beräknas som en integral över denna yta: $\mathbf {E}$ $\mathbf {D}$ $S$

\Phi =\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}\quad

eller .

\quad \Psi =\int _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}

I praktiken används båda värdena. Beroende på vad som menas i ett visst sammanhang är dimensionen på elektriskt flöde volt per meter (V m, för ) eller pendant (C, för ). För att undvika förvirring kan en förklarande symbol läggas till flödesbeteckningen: , . $\cdot$ $\Phi$ $\psi$ $\Phi _{E}$ $\Psi _{D}$

En av de mest betydelsefulla formlerna där det elektriska flödet ( ) förekommer är Maxwells elektrostatiska ekvation (i integralform). $\Psi _{D}$

Allmänt fall

I det allmänna fallet beräknas det elektriska flödet som en ytintegral , där integranden är ett elementärt flöde (till exempel , ), det vill säga skalärprodukten av vektorn vid en given punkt och ett litet vektorelement av platsen : $d\Phi _{E}$ ${\vec {E}}$

d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S}

Elementet skrivs som produkten av arean av det givna området av enhetsvektorn för dess normala , så att uttrycket för det elementära flödet tar formen $d\mathbf {S}$ $dS$ $d\mathbf {S} =dS\,\mathbf {n}$

{\mathit {d}}\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=E\,dS\,\cos \theta

där anger vinkeln mellan vektorerna och . Därefter utförs numerisk integration - faktiskt summering över sådana elementära områden i området: $\theta$ ${\vec {E}}$ ${\vec {n}}$

{\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}{\mathit {d))\Phi _{E))

Vid beräkning utförs liknande åtgärder, endast med vektorn . I det allmänna fallet finns det inget enkelt förhållande mellan och , eller mellan och . $d\Psi _{D}$ ${\vec {D}}$ $d\Psi _{D}$ $d\Phi _{E}$ $\Psi _{D}$ $\Phi _{E}$

Fallet med ett homogent fält

Om det elektriska fältet är homogent nära ytan tas det ut ur integraltecknet under integrationen och det elektriska flödet bestäms av formeln $S$

\Phi _{E}=E\cdot \int _{S}\cos \theta \,dS

och om ytan fortfarande är platt, då enligt formeln

\Phi _{E}=E\,S\,\cos \theta

Om fältet är homogent är en liknande förenkling möjlig för . Samtidigt betyder homogenitet inte alltid homogenitet , och vice versa. ${\vec {D}}$ $\Psi _{D}$ ${\vec {E}}$ ${\vec {D}}$

Fallet med svaga fält

I en situation med svaga [1] elektriska fält, frånvaron av anisotropi och dispersion , är vektorerna för elektrisk induktion och elektrisk fältstyrka relaterade med formeln:

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \,\mathbf {E}

där är dielektricitetskonstanten och är mediets permittivitet , generellt sett, beroende på koordinaterna. $\varepsilon_{0}$ $\varepsilon$

I det här fallet, för elementära strömmar och det finns en enkel relation: $d\Psi _{D}$ $d\Phi _{E}$

{\displaystyle d\Psi _{D}=\varepsilon _{0}\varepsilon \,d\Phi _{E))

Om dielektrikumet dessutom är homogent ( const), är de totala flödena också anslutna med en konstant: $\varepsilon =\,$

\Psi _{D}=\varepsilon _{0}\varepsilon \,\Phi _{E}

För vakuum ( ) gäller de relationer som skrivs här för alla fält. $\varepsilon=1$

Gauss sats och flöde

Enligt Gauss sats är det elektriska flödet genom en sluten yta lika med summan av alla laddningar inuti denna yta . Uttrycket för satsen kan skrivas för strömmen både och : $S$ ${\vec {E}}$ ${\vec {D}}$

\Phi _{\mathbf {E} }=\oint _{S}\mathbf {E} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\varepsilon _{0}^{-1}Q_ {parvel}

\Psi _{\mathbf {D} }=\oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =Q

men innebörden av begreppet "alla avgifter" är annorlunda. I fallet är i allmänhet alla laddningar ( ) menade - fria och bundna (uppstår under polariseringen av dielektrikumet ), och i fallet - endast fria ( ). ${\vec {E}}$ $Q_{tot}$ ${\vec {D}}$ $F$

Gauss teorem för elektrisk induktion har blivit en av Maxwells ekvationer , där laddningen vanligtvis ersätts av dess notation när det gäller den (fria) laddningstätheten :

\oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\rho \,dV

där den högra sidan antar integration över volymen innesluten inuti ytan . $S$

Se även

magnetiskt flöde

Litteratur

Yavorsky B.M., Detlaf A.A., Milkovskaya L.B. Fysik kurs. T.2. elektricitet och magnetism. 3:e uppl., M: Högre skola, 1968.-412s.

Anteckningar

↑ 1. Fält anses vara svaga om förskjutningen av bundna laddningar, och därmed polariseringen som orsakas av dem, är linjärt beroende av det givna fältet.