Elliptiskt filter

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 oktober 2019; kontroller kräver 4 redigeringar .

Elliptiskt filter ( Cauer - filter , eller Zolotarev - filter , eller Zolotarev-Cauer-filter ) är ett elektroniskt filter , vars karakteristiska särdrag är krusningen av amplitud-frekvenskarakteristiken både i passbandet och i undertryckningsbandet . Storleken på pulsationerna i vart och ett av banden är oberoende av varandra. Ett annat utmärkande drag hos ett sådant filter är en mycket brant rolloff av amplitudkarakteristiken, så med detta filter kan du uppnå en mer effektiv frekvensseparation än med andra linjära filter.

Om krusningarna i undertryckningsbandet är lika med noll, blir det elliptiska filtret ett Chebyshev-filter av det första slaget . Om rippeln är noll i passbandet blir filtret ett Chebyshev-filter av det andra slaget. Om det inte finns några krusningar i hela amplitudkarakteristiken, blir filtret ett Butterworth-filter .

Frekvenssvaret för ett elliptiskt lågpassfilter är en funktion av den cirkulära frekvensen ω och ges av:

G_{n}(\omega )={1 \över {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0)))))) }

där R n är en rationell elliptisk funktion av ordningen n och

\omega_0

- Gränsfrekvens

\epsilon

— krusningsfaktor _ _

\xi

- selektivitetsfaktor _ _

Värdet på rippelindexet bestämmer rippeln i passbandet, medan rippeln i avvisningsbandet beror på både rippelindexet och selektivitetsindexet.

Egenskaper

I passbandet ändrar den elliptiska funktionen värden från noll till ett. Frekvenssvaret i passbandet varierar därför från enhet till . $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

I undertryckningsbandet ändrar den elliptiska funktionen värden från oändlighet till värdet , vilket definieras som: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )

Frekvenssvaret i undertryckningsbandet ändrar alltså värden från noll till .

1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}

Begränsningsfallet förvandlar den elliptiska funktionen till ett Chebyshev-polynom och därmed blir det elliptiska filtret ett Chebyshev-filter av det första slaget med rippelexponent ε. $\xi \högerpil \infty$
Eftersom Butterworth-filtret är ett begränsningsfall för Chebyshev-filtret, så blir det elliptiska filtret under villkoren ett Butterworth - filter. $\xi \högerpil \infty$ $\omega _{0}\högerpil 0$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$
Begränsningsfallet , och så förvandlar det elliptiska filtret till ett Chebyshev-filter av det andra slaget med frekvenssvar $\xi \högerpil \infty$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\omega _{0}\högerpil 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alpha$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )))))) }}.

Poler och nollor

Nollorna i frekvenssvarsmodulen sammanfaller med polerna för den bråkrationella elliptiska funktionen.

Polerna hos ett elliptiskt filter kan definieras på samma sätt som polerna hos ett Chebyshev-filter av det första slaget. För enkelhetens skull tar vi gränsfrekvensen lika med enhet. Det elliptiska filtrets poler kommer att vara nollorna för nämnaren för amplitudkarakteristiken. Med den komplexa frekvensen får vi: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega ,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Låt , där cd är Jacobis elliptiska cosinusfunktion . Sedan, med hjälp av definitionen av en elliptisk fraktionerad rationell funktion, får vi: $-js={\mathrm {cd}}(w,1/\xi )$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n)){K)),{\frac {1}{L_{n))} \right)=0

var och . Löser w $K=K(1/\xi )$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}},

där värdena för den inversa cd-funktionen görs explicita genom att använda ett heltalsindex m .

Elliptikens poler fungerar i detta fall:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi ).

Som i fallet med Chebyshev polynom, kan detta uttryckas i en explicit komplex form [1]

s_{{pm}}={\frac {a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi ^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

där är en funktion av och och är nollorna för den elliptiska funktionen. Funktionen definieras för alla n i betydelsen Jacobi elliptiska funktion. För order 1 och 2 har vi $\zeta _{n}$ $n,\,\epsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac {1}{{\sqrt {1+\epsilon ^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

var

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

De rekursiva egenskaperna hos elliptiska funktioner kan användas för att konstruera uttryck av högre ordning för : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\höger),

var $L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi ).$

Elliptiska filter med minsta Q-faktor

Se [2] Elliptiska filter definieras vanligtvis genom att specificera en viss mängd rippel i passbandet, förkastningsbandet och lutningen för amplitudsvaret. Dessa egenskaper är avgörande för att ställa in minimiordningen för filtret. Ett annat tillvägagångssätt för att designa ett elliptiskt filter är att bestämma känsligheten hos amplitudsvaret för ett analogt filter för värdena på dess elektroniska komponenter. Denna känslighet är omvänt proportionell mot den speciella exponenten ( Q-faktor ) för polerna för filtrets överföringsfunktion . Kvalitetsfaktorn för en stolpe definieras som:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

och är ett mått på inverkan av en given pol på den totala amplitudkarakteristiken. För ett elliptiskt filter av en given ordning finns det ett samband mellan rippelindex och selektivitetsfaktorn, vilket minimerar kvalitetsfaktorn för alla poler i överföringsfunktionen:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

Detta leder till att det finns ett filter som är minst känsligt för förändringar i parametrarna för filterkomponenterna, men med denna designmetod förloras förmågan att oberoende tilldela mängden rippel i passbandet och undertryckningsbandet. För sådana filter, när ordningen ökar, minskar rippeln i både stoppbandet och passbandet, och lutningen för karakteristiken runt gränsfrekvensen ökar. Vid beräkning av ett filter med en lägsta kvalitetsfaktor måste man ta hänsyn till att ordningen på ett sådant filter blir större än med den vanliga beräkningsmetoden. Grafen för den amplitudkarakteristiska modulen kommer att se nästan likadan ut som tidigare, men polerna kommer inte att vara placerade i en ellips, utan i en cirkel, och till skillnad från Butterworth-filtret , vars poler också är arrangerade i en cirkel, avståndet mellan dem kommer inte att vara detsamma, men på den imaginära axeln kommer nollor att placeras.

Jämförelse med andra linjära filter

Nedan är grafer över amplitud-frekvensegenskaperna för några av de vanligaste linjära elektroniska filtren med samma antal koefficienter:

Som du kan se från grafen har det elliptiska filtret den högsta lutningen, men det har också betydande rippel i både passbandet och stoppbandet.

Se även

Bibliografi

V.A. Lucas. Teori om automatisk styrning. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky . Uppslagsbok om radioelektronikens teoretiska grunder. - M . : Energi, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Filterdesign för signalbehandling med MATLAB© och Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Vetenskapsmannens och ingenjörens guide till digital signalbehandling . - Andra upplagan. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptiv signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptiv filterteori. - 4:e upplagan. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptiva filter – strukturer, algoritmer och applikationer . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linjär förutsägelse av tal. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L.R. Rabiner , R.W. Schafer. Digital bearbetning av talsignaler. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digital signalbehandling i VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A.V. Oppenheim, R.W. Schafer. Digital signalbehandling . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teori och tillämpning av digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introduktion till digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .