Jacobi elliptiska funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 januari 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Jacobi elliptiska funktioner är en uppsättning grundläggande elliptiska funktioner av en komplex variabel och hjälptetafunktioner som är direkt relaterade till vissa tillämpade problem (till exempel pendelekvationen ). De har också användbara analogier med trigonometriska funktioner , vilket visas av motsvarande notation för . De ger inte det enklaste sättet att utveckla en allmän teori, som nyligen noterats: detta kan göras baserat på Weierstrass elliptiska funktioner . Jacobi elliptiska funktioner har två enkla poler och två enkla nollor i huvudparallellogrammet. $\operatörsnamn{\mathrm{sn))$ $\synd$

Introduktion

Det finns en elliptisk funktion som har en andra ordningens pol och två enkla nollor i huvudparallellogrammet; detta är den "elliptiska Weierstrass-funktionen". Mer användbara är dock de "Jacobi elliptiska funktionerna", som har två enkla poler och två enkla nollor i varje huvudparallellogram. Var och en av dessa funktioner i huvudparallellogrammet tar vilket värde som helst exakt två gånger.

Beteckning

För elliptiska funktioner kan man stöta på olika notationer som kan förvirra sakens väsen. Elliptiska funktioner är funktioner av två variabler. Den första variabeln kan ges i termer av amplitud , eller vanligtvis, i termer av nedan. Den andra variabeln kan ges i termer av en parameter , antingen som en elliptisk modul , där , eller i termer av en modulär vinkel , där . $\varphi$ $u$ $m$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ))$

Definition som inverser till elliptiska integraler

Ovanstående definition i termer av meromorfa funktioner är abstrakt. Det finns en enklare men absolut ekvivalent definition som definierar elliptiska funktioner som inverser av en ofullständig elliptisk integral av det första slaget. Låta

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

Den elliptiska funktionen ges som $\operatörsnamn {sn} u$

\operatörsnamn {sn} u=\sin \varphi

och bestämd $\operatörsnamn {cn} u$

\operatörsnamn {cn} u=\cos \varphi ,

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Här kallas vinkeln för amplitud . kallas deltaamplituden . Värdet är en fri parameter som antas vara reell i intervallet , och därför är elliptiska funktioner funktioner av två argument: amplitud och parameter . $\varphi$ $\operatörsnamn {dn} u=\Delta (u)$ $m$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $m$

De återstående nio elliptiska funktionerna är lätta att konstruera från de tre ovanstående. Detta kommer att göras nedan.

Observera att när , då är lika med en fjärdedel av perioden . $\varphi =\pi /2$ $u$ $K$

Definition i termer av theta-funktioner

På motsvarande sätt kan Jacobis elliptiska funktioner definieras i termer av θ-funktioner . Om vi definierar som , respektive som ( thetakonstanter ) så är elliptikmodulen . Förutsatt att vi får $\vartheta (0;\;\tau )$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi \vartheta ^{2}z$

\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau )}},

\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},

\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau )}}.

Eftersom Jacobi-funktionerna är definierade i termer av elliptisk modul , är det nödvändigt att hitta deras inverser och uttrycka dem i termer av . Låt oss börja med en extra modul . Hur man skriver en funktion $k(\tau )$ $\tau$ $k$ $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Låt oss presentera notationen

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 }{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

Vi definierar också nomen som och utökar den i en serie i potenser av nomen . Skaffa sig $q$ $q=\exp(\pi i\tau )$ $\aln$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots )).

Att invertera serien ger

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ ell ^{25}+\ldots

Eftersom vi kan betrakta det speciella fallet där den imaginära delen är större än eller lika med , kan vi säga att värdet är mindre än eller lika med . För så små värden konvergerar ovanstående serie mycket snabbt, och detta gör det lätt att hitta ett lämpligt värde för . $\tau$ ${\sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Andra funktioner

Genom att ändra ordningen på två bokstäver i namnet på funktioner, betecknar de vanligtvis inversen av de tre funktionerna ovan:

\operatörsnamn {ns} (u)=1/\operatörsnamn {sn} (u),

\operatörsnamn {nc} (u)=1/\operatörsnamn {cn} (u),

\operatörsnamn {nd} (u)=1/\operatörsnamn {dn} (u).

Förhållandena mellan de tre huvudfunktionerna betecknas med den första bokstaven i täljaren efter den första bokstaven i nämnaren:

\operatörsnamn {sc} (u)=\operatörsnamn {sn} (u)/\operatörsnamn {cn(u)} ,

\operatörsnamn {sd} (u)=\operatörsnamn {sn} (u)/\operatörsnamn {dn(u)} ,

\operatörsnamn {dc} (u)=\operatörsnamn {dn} (u)/\operatörsnamn {cn(u)} ,

\operatörsnamn {ds} (u)=\operatörsnamn {dn} (u)/\operatörsnamn {sn(u)} ,

\operatörsnamn {cs} (u)=\operatörsnamn {cn} (u)/\operatörsnamn {sn(u)} ,

\operatörsnamn {cd} (u)=\operatörsnamn {cn} (u)/\operatörsnamn {dn(u)} .

Låt oss skriva mer kortfattat

\operatörsnamn {pq} (u)={\frac {\operatörsnamn {pr} (u)}{\operatörsnamn {qr(u)} )),

där alla bokstäver , , och är alla bokstäver , , , (kom ihåg att ). $\operatörsnamn {p}$ $\operatörsnamn {q}$ $\operatörsnamn {r}$ $\operatörsnamn {s}$ $\operatörsnamn {c}$ $\operatörsnamn {d}$ $\operatörsnamn {n}$ $\operatörsnamn {ss} =\operatörsnamn {cc} =\operatörsnamn {dd} =\operatörsnamn {nn} =1$

Ytterligare satser

Funktioner uppfyller två algebraiska relationer

\operatörsnamn {cn} ^{2}+\operatörsnamn {sn} ^{2}=1,

\operatörsnamn {dn} ^{2}+k^{2}\operatörsnamn {sn} ^{2}=1.

Det kan ses att ( , , ) parametriserar den elliptiska kurvan , som är skärningspunkten mellan två kvadriker som definieras av ovanstående två ekvationer. Vi kan nu definiera grupplagen för punkter på denna kurva med hjälp av ytterligare formler för Jacobi-funktionerna $\operatörsnamn {cn}$ $\operatörsnamn {sn}$ $\operatörsnamn {dn}$

\operatörsnamn {cn} (x+y)={\frac {\operatörsnamn {cn} (x)\,\operatörsnamn {cn} (y)-\operatörsnamn {sn} (x)\,\operatörsnamn { sn} (y)\,\operatörsnamn {dn} (x)\,\operatörsnamn {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatörsnamn {sn} ^{2}(x)\, \operatörsnamn {sn} ^{2}(y)}},

\operatörsnamn {sn} (x+y)={\frac {\operatörsnamn {sn} (x)\,\operatörsnamn {cn} (y)\,\operatörsnamn {dn} (y)+\operatörsnamn { sn} (y)\,\operatörsnamn {cn} (x)\,\operatörsnamn {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatörsnamn {sn} ^{2}(x)\, \operatörsnamn {sn} ^{2}(y)}},

\operatörsnamn {dn} (x+y)={\frac {\operatörsnamn {dn} (x)\,\operatörsnamn {dn} (y)-k^{2}\,\operatörsnamn {sn} ( x)\,\operatörsnamn {sn} (y)\,\operatörsnamn {cn} (x)\,\operatörsnamn {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatörsnamn {sn} ^{ 2}(x)\,\operatörsnamn {sn} ^{2}(y)}}.

Trigonometriska och hyperboliska funktioner som ett specialfall av elliptisk

Om , då $m=1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operatörsnamn {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatörsnamn {tg} \varphi \right).

Härifrån

\sin \varphi =\operatörsnamn {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatörsnamn {th} \,u.

Härifrån

\operatörsnamn {cn}\,u={\sqrt {1-\operatörsnamn {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatörsnamn {ch}\,u}}

och

\operatörsnamn {dn} \,u={\sqrt {1-\operatörsnamn {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatörsnamn {ch} \,u}} .

Således, vid , degenererar elliptiska funktioner till hyperboliska . $m=1$

Om , då $m=0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

Härifrån

\sin \varphi =\sin \,u=\operatörsnamn {sn} \,u,

såväl som

\operatörsnamn {cn} \,u=\cos \,u,

\operatörsnamn {dn} \,u=1.

Således, vid , elliptiska funktioner urartar till trigonometriska funktioner . $m=0$

Relation mellan funktioners kvadrater

För kvadraterna av dessa funktioner är följande samband sanna

-\operatörsnamn {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatörsnamn {cn} ^{2}(u)=m\;\operatörsnamn {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\operatörsnamn {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatörsnamn {sd} ^{2}(u)=m\ ;\operatörsnamn {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operatörsnamn {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatörsnamn {nc} ^{2}(u)=\operatörsnamn {dc } ^{2}(u)-m,

\operatörsnamn {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatörsnamn {ds} ^{2}(u)=\operatörsnamn {ns} ^{2}(u)-m,

var och . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

Ytterligare likheter för rutor kan erhållas genom att notera att , och , där , , är alla bokstäver , , , och . $\operatörsnamn {pq}^{2}\cdot \operatörsnamn {qp}^{2}=1$ $\operatörsnamn {pq}=\operatörsnamn {pr}/\operatörsnamn {qr}$ $\operatörsnamn {p}$ $\operatörsnamn {q}$ $\operatörsnamn {r}$ $\operatörsnamn {s}$ $\operatörsnamn {c}$ $\operatörsnamn {d}$ $\operatörsnamn {n}$ $\operatörsnamn {ss} =\operatörsnamn {cc} =\operatörsnamn {dd} =\operatörsnamn {nn} =1$

Namn

Låt nom vara lika och låt argumentet vara . Då kan funktionerna representeras som Lambertsummor $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2K)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Lösningar på icke-linjära vanliga differentialekvationer

Derivaterna av de tre grundläggande Jacobi elliptiska funktionerna skrivs som:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

Med hjälp av satsen, vars formulering ges ovan , för en given ( ) ekvation, vars lösningar är Jacobi elliptiska funktioner: $k$ $0<k<1$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ är en lösning på ekvationen och ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ är en lösning på ekvationen och ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ är en lösning på ekvationen och ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Länkar

Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Elliptiska funktioner (nedlänk) - Procedurer för Matlab

Litteratur

Bobylev D.K. Elliptiska integraler och funktioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . — New York: Dover, 1972. Se kapitel 16

Akhiezer N. I. Element i teorin om elliptiska funktioner (neopr.) . — M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. Kurs i modern analys. Del 2. Transcendenta funktioner . - M . : Mir, 1963. (ryska) eller Moskva: URSS, 2010

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta