Butterworth filter

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 augusti 2022; kontroller kräver 9 redigeringar .

Butterworth-filtret är en av typerna av elektroniska filter . Filter av denna klass skiljer sig från andra genom designmetoden. Butterworth-filtret är utformat så att dess frekvenssvar är så jämnt som möjligt vid passbandsfrekvenser .

Sådana filter beskrevs först av den brittiske ingenjören Stephen Butterworth.i artikeln " On the Theory of Filter Amplifiers " , i tidningen Wireless Engineer 1930 .

Översikt

Frekvenssvaret för Butterworth-filtret är så jämnt som möjligt vid passbandsfrekvenserna och sjunker till nästan noll vid undertryckningsfrekvenserna. När frekvenssvaret för ett Butterworth-filter visas på ett logaritmiskt fassvar , minskar amplituden mot minus oändlighet vid gränsfrekvenserna. I fallet med ett första ordningens filter avtar frekvensgången med en lutning på -6 decibel per oktav (-20 decibel per decennium ) (i själva verket är alla första ordningens filter, oavsett typ, identiska och har samma frekvensgång ). För ett andra ordningens Butterworth-filter dämpas frekvensgången med -12 dB per oktav, för ett tredje ordningens filter med -18 dB, och så vidare. Frekvenssvaret för Butterworth-filtret är en monotont minskande funktion av frekvensen.

Butterworth-filtret är det enda filtret som bevarar formen på frekvenssvaret för högre beställningar (med undantag för en brantare rolloff i avvisningsbandet), medan många andra filtervarianter ( Bessel- filter , Chebyshev-filter , elliptiskt filter ) har olika form. av frekvenssvaret i olika ordningsföljder.

Jämfört med Chebyshev Typ I och II-filter eller ett elliptiskt filter har Butterworth-filtret en plattare rolloff och måste därför vara av högre ordning (vilket är svårare att implementera) för att ge önskad respons vid gränsfrekvenserna. Butterworth-filtret har dock ett mer linjärt fassvar vid passbandsfrekvenser.

Som med alla filter, när man överväger frekvensegenskaperna, används ett lågpassfilter , från vilket ett högpassfilter , ett bandpassfilter eller ett notchfilter lätt kan erhållas .

Frekvenssvaret för ett th-orders Butterworth-filter kan erhållas från överföringsfunktionen : $G(\omega)$ $n$ $H(s)$

G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac { \omega }{\omega _{c}}}\right)^{{2n}}}}

var

$n$ - filterordning
$\omega_{c}$ - Gränsfrekvens (frekvens vid vilken amplituden är -3 dB)
$G_{0}$ - DC-förstärkning (förstärkning vid noll frekvens)

Det är lätt att se att för oändliga värden blir frekvenssvaret en rektangulär funktion, och frekvenser under gränsfrekvensen kommer att passeras igenom med en förstärkning , medan frekvenser över gränsfrekvensen kommer att undertryckas helt. För ändliga värden kommer sönderfallet av egenskapen att vara mild. $n$ $G_{0}$ $n$

Med hjälp av en formell substitution representerar vi uttrycket i formen : $s=+j\omega$ $H(s)H(-s)$ $|H(\omega )|^{2}$

H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2 }}}\right)^{n}}}

Överföringsfunktionens poler är placerade på en cirkel med radie på samma avstånd från varandra i det vänstra halvplanet. Det vill säga, överföringsfunktionen för ett Butterworth-filter kan endast bestämmas genom att bestämma polerna för dess överföringsfunktion i det vänstra halvplanet av s-planet . -:e polen bestäms av följande uttryck: $\omega _{c}$ $k$

-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e ^{\frac {j(2k-1)\pi}{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

var

s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n))\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

Överföringsfunktionen kan skrivas som:

{\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c))))

Liknande överväganden gäller digitala Butterworth-filter, med den enda skillnaden att förhållandena inte skrivs för s -planet, utan för z -planet .

Nämnaren för denna överföringsfunktion kallas Butterworth-polynomet.

Normaliserade Butterworth-polynom

Butterworth-polynom kan skrivas i komplex form som visas ovan, men de skrivs vanligtvis som förhållanden med reella koefficienter (komplexa konjugerade par kombineras med multiplikation). Polynom normaliseras med gränsfrekvensen: . De normaliserade Butterworth-polynomen har alltså följande kanoniska form: $\omega _{c}=1$

B_{n}(s)=\prod _{{k=1}}^{({\frac {n}{2}}}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\ frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - till och med

n

B_{n}(s)=(s+1)\prod _{{k=1}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}\left[s^{2}-2s \cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - udda

n

Nedan är koefficienterna för Butterworth-polynomen för de första åtta ordningarna:

$n$	Polynomkoefficienter $B_{n}(s)$
ett	$(s+1)$
2	$s^{2}+1{,}41421s+1$
3	$(s+1)(s^{2}+s+1)$
fyra	$(s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)$
5	$(s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)$
6	$(s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)$
7	$(s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s +1)$
åtta	$(s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s) ^{2}+1{,}96157s+1)$

Maximal jämnhet

Att ta och , derivatan av amplitudkarakteristiken med avseende på frekvens kommer att se ut så här: $\omega _{c}=1$ $G_{0}=1$

{\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}

Den minskar monotont för alla eftersom vinsten alltid är positiv. Således har Butterworth-filtrets frekvenssvar ingen rippel. När vi utökar amplitudkarakteristiken till en serie får vi: $\omega$

G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{{2n}}+{\frac {3}{8}}\omega ^{{4n}}+\ldots

Med andra ord är alla derivator av amplitud-frekvenskarakteristiken med avseende på frekvens upp till -th lika med noll, vilket innebär "maximal jämnhet". $2n$

Rolloff vid höga frekvenser

Efter att ha accepterat hittar vi lutningen för logaritmen för frekvenssvaret vid höga frekvenser: $\omega _{c}=1$

\lim _{{\omega \rightarrow \infty }}{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )))=-n

I decibel har den högfrekventa asymptoten en lutning dB/decennium. $-20n$

Filterdesign

Det finns ett antal olika filtertopologier med vilka linjära analoga filter implementeras. Dessa scheman skiljer sig endast i elementens värden, strukturen förblir oförändrad.

Cauer topologi

Cauers topologi använder passiva element ( kapacitanser och induktanser ) [1] . Ett Butteworth-filter med en given överföringsfunktion kan konstrueras i form av en Type 1 Cauer. -t element i filtret ges av relationen: $k$

C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k udda

L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k är jämnt

Sallen-Ki-topologin

Sallen-Key-topologin använder aktiva element ( operationsförstärkare ) utöver passiva. Varje steg i Sallen-Key-kretsen är en del av filtret, matematiskt beskrivet av ett par komplexa konjugerade poler. Hela filtret erhålls genom att seriekoppla alla steg. Om en riktig stolpe stöter på måste den implementeras separat, vanligtvis i form av en RC -kedja , och inkluderas i den övergripande kretsen.

Överföringsfunktionen för varje steg i Sallen-Key-schemat är:

H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{ 2}}}

Nämnaren måste vara en av faktorerna i Butterworth-polynomet. Med , får vi: $\omega _{c}=1$

C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1

och

C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\right)

Den sista relationen ger två okända, som kan väljas godtyckligt.

Jämförelse med andra linjära filter

Figuren nedan visar frekvenssvaret för Butterworth-filtret jämfört med andra populära linjära filter av samma (femte) ordning:

Det kan ses av figuren att Butterworth-filtret har den långsammaste roll-off av de fyra, men det har också den jämnaste frekvensresponsen vid passbandsfrekvenser.

Exempel

Överväg ett tredje ordningens analogt lågpass Butterworth-filter med farad, ohm och henry. Genom att beteckna impedansen för kapacitanserna som impedansen för induktanserna som , där är en komplex variabel, och med hjälp av ekvationerna för att beräkna elektriska kretsar , får vi följande överföringsfunktion för ett sådant filter: $C_{2}=4/3$ $R_{4}=1$ $L_{1}=1/2$ $L_{3}=3/2$ $C$ $1/(sC)$ $L$ $sL$ $s=\sigma+j\omega$

H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3} }}

Frekvenssvaret ges av ekvationen: $G(\omega)$

{\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6))))

och PFC ges av ekvationen:

\Phi (\omega )=\arg[H(j\omega )]

Gruppfördröjning definieras som minus derivatan av fasen med avseende på den cirkulära frekvensen och är ett mått på fasdistorsionen hos en signal vid olika frekvenser. Det logaritmiska frekvenssvaret för ett sådant filter har ingen rippel vare sig i passbandet eller i undertryckningsbandet. $\lg G$

Diagrammet av modulen för överföringsfunktionen i det komplexa planet indikerar tydligt tre poler i det vänstra halvplanet. Överföringsfunktionen bestäms helt av placeringen av dessa poler på enhetscirkeln symmetriskt kring den verkliga axeln.

Genom att ersätta varje induktans med en kapacitans, och kapacitanserna med induktanser, får vi ett Butterworth högpassfilter .

Se även

Anteckningar

↑ http://www.falstad.com/circuit/ Arkiverad 21 januari 2013 på Wayback Machine Circuit. Passiva filter. Butterworth Low-Pass (10 polig)

Litteratur

V.A. Lucas. Teori om automatisk styrning. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky. Uppslagsbok om radioelektronikens teoretiska grunder. - M . : Energi, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Filterdesign för signalbehandling med MATLAB© och Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Vetenskapsmannens och ingenjörens guide till digital signalbehandling . - Andra upplagan. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptiv signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptiv filterteori. - 4:e upplagan. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptiva filter – strukturer, algoritmer och applikationer . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linjär förutsägelse av tal. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L.R. Rabiner , R.W. Schafer. Digital bearbetning av talsignaler. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digital signalbehandling i VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A.V. Oppenheim, R.W. Schafer. Digital signalbehandling . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teori och tillämpning av digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introduktion till digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .

Länkar

Butterworth filterberäkning med exempel
Vetenskapsmannens och ingenjörens guide till digital signalbehandling
Lågpassfilter
Använda Butterworth-filtret i kontrollsystemsyntes Arkiverad 22 juni 2006 på Wayback Machine
Beräkning av rekursiva filter
Filterklassificering
Kretsar. passiva filter. Butterworth Low-Pass (10 polig)