Provdistributionsfunktion

Den empiriska (empiriska) fördelningsfunktionen i matematisk statistik är en approximation av den teoretiska fördelningsfunktionen , byggd med hjälp av ett urval från den.

Definition

Låta vara ett urval av storlek som genereras av en slumpvariabel som ges av fördelningsfunktionen . Vi kommer att anta att , där , är oberoende slumpvariabler definierade på något utrymme av elementära utfall . Låt . Låt oss definiera funktionen enligt följande: $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $n$ $X$ $F(x)$ $X_{i}$ $i\in \left\{1,n\right\},n\in \mathbb {N}$ $\Omega$ $x \in \mathbb{R}$ ${\hat {F}}(x)$

{\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i }\leq x\}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\theta (x-X_{i})

var är händelseindikatorn , är Heaviside- funktionen . Således är värdet på funktionen vid en punkt lika med den relativa frekvensen av sampelelement som inte överstiger värdet på . Funktionen kallas stickprovsfördelningsfunktionen för den slumpmässiga variabeln , eller empirisk samplingsfunktion, och är en approximation för funktionen . Det finns Kolmogorovs teorem , som säger att för , funktionen konvergerar enhetligt till , och anger graden av konvergens. För varje positiv är en slumpvariabel med värde . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\theta (x)$ ${\hat {F}}$ $x$ $x$ ${\hat {F}}(x)$ $X$ $F(x)$ $n\till\infty$ ${\hat {F}}(x)$ $F(x)$ $x$ ${\hat {F}}(x)$ ${\frac {k}{n}},k\in \left\{0,n\right\}$

Grundläggande egenskaper

Låt det elementära resultatet vara fixat . Då ges fördelningsfunktionen för den diskreta fördelningen av följande sannolikhetsfunktion : $\omega \i \Omega$ ${\hat {F}}(x,\omega )$

p_{i}=p(x_{i})={\frac {N_{x_{i))}{n)),\;i=1,\ldots ,n

där , och är antalet provelement lika med . I synnerhet, om alla element i provet är distinkta, då . $x_{i}=X_{i}(\omega )$ $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\))$ $x$ $N_{x_{i}}=1,\;\forall i$

Den matematiska förväntningen på denna fördelning är:

\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {N_{ x_{i}}}{n}}={\overline {X}}(\omega )

Således är urvalsmedelvärdet det teoretiska medelvärdet av urvalsfördelningen. På liknande sätt är urvalsvariansen den teoretiska variansen av urvalsfördelningen.

Den slumpmässiga variabeln har en binomialfördelning : $n{\hat {F}}(x)$

n{\hat {F}}(x)\sim \mathrm {Bin} (n,F(x))

Provfördelningsfunktionen är en opartisk uppskattning av fördelningsfunktionen : ${\hat {F}}(x)$ $F(x)$

\mathbb {E} \left[{\hat {F}}(x)\right]=F(x)

Variansen av sampelfördelningsfunktionen har formen:

\mathrm {D} \left[{\hat {F}}(x)\right]={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}

Enligt den starka lagen om stora tal konvergerar provfördelningsfunktionen nästan säkert till den teoretiska fördelningsfunktionen:

{\hat {F}}(x)\till F(x)

nästan säkert kl .

n\till\infty

Sampelfördelningsfunktionen är en asymptotiskt normal uppskattning av den teoretiska fördelningsfunktionen. Om , då $0<F(x)<1,\;\forall x\in \mathbb {R}$

{\sqrt {n}}\left({\hat {F}}(x)-F(x)\right)\to \mathrm {N} \left(0,F(x)(1- F(x))\höger)

genom utdelning kl .

n\till\infty

Provdistributionsfunktion

Definition

Grundläggande egenskaper

Se även