C*-algebra

En C*-algebra är en Banach-algebra med en involution som uppfyller egenskaperna hos den adjoint operator .

Ett specialfall av en C*-algebra är en komplex algebra över ett fält A med kontinuerliga linjära operatorer på ett komplext Hilbertrum med ytterligare två egenskaper:

A är en topologiskt sluten mängd i operatörsnormens topologi .
A är stängd under operationen att ta konjugationer av operatorer .

En annan viktig klass av icke-Hilbert C*-algebror är algebrorna för kontinuerliga funktioner i rymden . $C_{0}(X)$ $X$

C*-algebror övervägdes först främst med syftet att använda dem inom kvantmekaniken för att modellera algebror för fysiskt observerbara objekt. Denna forskningslinje började med Werner Heisenbergs matriskvantmekanik och , i en mer matematisk form, med Pascual Jordans arbete omkring 1933. Därefter försökte John von Neumann fastställa den allmänna strukturen för dessa algebror genom att skapa en serie papper om operatörsringar. Dessa papper behandlade en speciell klass av C*-algebror, som nu är kända som von Neumann-algebror .

Omkring 1943 gav Israel Gelfand och Mark Naimark , med hjälp av begreppet helt regelbundna ringar, en teoretisk karakterisering av C*-algebror [1] .

C*-algebror är för närvarande ett viktigt verktyg i teorin om enhetliga representationer av lokalt kompakta grupper, och används också i algebraiska formuleringar av kvantmekanik . Ett annat aktivt forskningsområde är klassificeringen eller bestämning av graden av möjlig klassificering för separerbara enkla nukleära C*-algebror.

Formell definition

En C*-algebra [2] är en Banach-algebra A över fältet av komplexa tal , för alla element av vilka en mappning definieras med följande egenskaper: ${\textstyle x\in A}$ ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$

Denna mappning är en involution för varje x i A :

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

För alla x , y i A :

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

För varje komplext tal i och varje x i A : $\lambda$ $\mathbb {C}$

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}

För alla x i A :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|

Notera. De tre första identiteterna säger att A är en *-algebra . Den sista identiteten kallas en C*-identitet och motsvarar formeln

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2))$

C*-identitet är ett mycket starkt krav. Till exempel, tillsammans med spektralradieformeln , följer det att C* -normen bestäms unikt av den algebraiska strukturen:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ inte reversibel}}\}.

En begränsad operator : A B mellan C*-algebrorna A och B kallas en *-homomorfism om $\pi$ $\till$

för alla x och y från A ,

\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)

för alla x från A ,

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}

I fallet med C*-algebror är all *-homomorfism mellan C*-algebror kontraktiv, det vill säga begränsad av normen . Dessutom är en injektiv *-homomorfism mellan C*-algebror isometrisk . Dessa egenskaper är konsekvenser av C*-identiteten. $\pi$ $\leq 1$

En bijektiv *-homomorfism kallas en C*-isomorfism , i vilket fall A och B sägs vara isomorfa . $\pi$

Anteckningar

↑ I. Gelfand , M. Neumark . Om inbäddningen av normerade ringar i operatörsringen i Hilbert-rymden , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.
↑ Denna definition gavs först i artikeln av I. Gelfand , M. Neumark . Om inbäddningen av normerade ringar i operatörsringen i Hilbert-rymden , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.

Länkar

J. Murphy. C *-Algebras and Operator Theory = C *-Algebras and Operator Theory. - M .: Factorial, 1997. - ISBN 5-88688-016-X .
Arveson W. En inbjudan till C*-Algebra (engelska). -New York:Springer-Verlag, 1976. - Vol. 13 Forskartexter i matematik. — 106 sid. —ISBN 0-387-90176-0.
Connes, Alain , Icke-kommutativ geometri , ISBN 0-12-185860-X , < https://archive.org/details/noncommutativege0000conn >
Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1 , < https://archive.org/details/calgebras0000dixm >
Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
AI Shtern (2001), C* algebra , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras , Springer, ISBN 3-540-63633-1
Segal, Irving (1947), Irreducible representations of operator algebras , Bulletin of the American Mathematical Society vol 53 (2): 73–88 , DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5