Asymptotisk analys

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 mars 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

Asymptotisk analys är en metod för att beskriva funktioners begränsande beteende.

Till exempel, i en funktion , när den närmar sig oändligheten, blir termen försumbar jämfört med , så funktionen sägs vara "asymptotiskt ekvivalent med ", vilket ofta också skrivs som . Ett exempel på ett viktigt asymptotiskt resultat är primtalssatsen . Låt betecknar fördelningen funktion av primtal , Det vill säga lika med antalet primtal som är mindre än eller lika med , Då kan satsen formuleras som . $f(n)=n^{2}+3n$ $n$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\till\infty$ ${\displaystyle f(n)\sim n^{2))$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $x$ $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x))$

Asymptotisk jämlikhet

Låt och vara några funktioner. Då definieras den binära relationen på ett sådant sätt att $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{för }}x\to \infty )

om och bara om [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

Funktionerna och kallas även asymptotiskt ekvivalenta eftersom det är en ekvivalensrelation för funktioner över . Domänen för och kan vara vilken uppsättning som helst där begreppet gräns är vettigt: reella tal , komplexa tal , naturliga tal etc. Samma notation används också för andra gränsbegränsningar på , som . En specifik gräns anges vanligtvis inte om det framgår av sammanhanget. $f$ $g$ $\sim$ $x$ $f$ $g$ $x$ $x\to 0$

Definitionen ovan är vanlig i litteraturen, men den tappar sin betydelse om den tar på sig ett oändligt antal gånger. Därför använder vissa författare en alternativ definition i termer av O-notation : $g(x)$ $0$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Denna definition är ekvivalent med den som ges ovan om den skiljer sig från noll i någon omgivning av gränspunkten [2] [3] . $g(x)$

Egenskaper

Om och , under vissa naturliga begränsningar är följande sant: $f\sim g$ $a\sim b$

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r))$ , på riktigt $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Dessa egenskaper tillåter en att fritt utbyta asymptotiskt ekvivalenta funktioner mot varandra i vissa algebraiska uttryck.

Exempel på asymptotiska formler

Stirlingformel för factorials

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Antal sätt att dela upp ett naturligt tal i en oordnad summa av naturliga tal $n$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3))))e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3))))

Luftig funktion - lösning av en differentialekvation $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4))))

Hankel funktioner

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z))}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}

Asymptotisk expansion

En asymptotisk expansion av en funktion är ett uttryck för en funktion i form av en serie vars delsummor kanske inte konvergerar , men vilken delsumma som helst ger den korrekta asymptotiska skattningen . Således ger varje nästa element i den asymptotiska expansionen en något mer exakt beskrivning av tillväxtordningen för . Med andra ord, om är en asymptotisk expansion av , då , i det allmänna fallet, för någon . I enlighet med definitionen betyder detta att , d.v.s. växer asymptotiskt mycket långsammare $f(x)$ $f$ $f$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots$ $f$ $f\sim g_{1},$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2))$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k))$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Om den asymptotiska expansionen inte konvergerar, så finns det för varje argument någon delsumma som bäst approximerar funktionen vid denna punkt, och ytterligare tillägg av termer till den kommer bara att minska noggrannheten. Som regel kommer antalet termer i en sådan optimal summa att öka när gränspunkten närmar sig. $x$

Exempel på asymptotiska expansioner

gammafunktion

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Integral exponent

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\till \infty )

Felfunktion

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

där ( 2n − 1)!! är dubbelfaktorial .

Applikationer

Asymptotisk analys används:

I tillämpad matematik bygga numeriska metoder för att lösa ekvationer.
I matematisk statistik och sannolikhetsteori för att bestämma de begränsande egenskaperna hos slumpvariabler och statistiska uppskattningar .
Inom datavetenskap i analys av algoritmer och deras körtid .
I statistisk fysik i analys av beteendet hos fysiska system .
I analysen av katastrofer för att fastställa orsakerna till en katastrof genom att modellera många katastrofer på samma plats.

Asymptotisk analys är ett nyckelverktyg för att studera differentialekvationer som uppstår i matematisk modellering av verkliga fenomen [4] . Som regel syftar tillämpningen av asymptotisk analys till att studera modellens beroende av någon dimensionslös parameter , som antas vara försumbar i omfattningen av problemet som löses.

Asymptotiska expansioner uppstår som regel i de ungefärliga beräkningarna av vissa integraler ( Laplaces metod , sadelpunktsmetod ) eller sannolikhetsfördelningar ( Edgeworths serie ). Ett exempel på en divergerande asymptotisk expansion är Feynman-graferna i kvantfältteorin .

Se även

Anteckningar

↑ ( de Bruijn 1981 , §1.4)
↑ Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Asymptotic equality , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada & Kanwal (2002 , §1.2)
↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Arkiverad 22 juli 2021 på Wayback Machine , Cambridge University Press

Litteratur

Fedoryuk M. V. Asymptotik: Integraler och serier. — M .: Nauka , 1987. — 544 sid. — (Referens matematiskt bibliotek).
Olver, F. Introduktion till asymptotiska metoder och specialfunktioner. — M .: Nauka , 1978. — 386 sid.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Applied Asymptotic Analysis , American Mathematical Society , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Asymptotic Analysis , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , >

Länkar

Asymptotisk analys — tidskriftens hemsida, som publiceras av IOS Press
En uppsats om tidsserieanalys med asymptotisk distribution