Associativitet (matematik)

Associativitet ( kompatibilitet ) är en egenskap hos en binär operation , som består i förmågan att sekventiellt tillämpa en formel i en godtycklig ordning på element . $\cirkel$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $x,\;y,\;z$

Termen introducerades av William Hamilton 1853 .

Eftersom resultatet av uttrycket för associativa operationer inte beror på tillämpningsordningen, utelämnas parenteserna vid notering. För en icke -associativ operation definieras inte uttrycket för utan ytterligare överenskommelse om tillämpningsordningen. $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Exempel på associativa operationer:

addition av reella tal : $(a+b)+c=a+(b+c)$
multiplikation av reella tal : $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
funktionssammansättning : $(H\cirkel G)\cirkel F=H\cirkel (G\cirkel F)$

Ett exempel på en icke-associativ operation är exponentiering - resultatet av uttrycket beror direkt på arrangemanget av parenteser, i det allmänna fallet . $a^{b^{c))$ ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c))$

Inte varje kommutativ operation är associativ - det finns kommutativa magma med en icke-associativ.

Associativitet spelar en viktig roll i allmän algebra : i de flesta av de övervägda strukturerna är binära operationer associativa ( grupper , ringar , fält , semilattices och gitter ). Teorin om semigrupper undersöker faktiskt fenomenet associativitet med allmänna algebraiska metoder. Samtidigt övervägs även icke-associativa system speciellt, nämligen: kvasigrupper , loopar , icke-associativa ringar , icke-associativa algebror . Deras studie kompliceras av det faktum att många egenskaper hos associativa system inte håller för dem. Ibland visar sig problemen med portabilitet av egenskaper till icke-associativa strukturer vara icke-triviala (till exempel är frågan om giltigheten av Lagranges sats för finita slingor öppen).

Inom datavetenskap anses associativitet vara en användbar egenskap, i synnerhet som gör att du kan använda parallellism för sekventiella tillämpningar av en operation. Samtidigt visar sig många praktiska operationer (addition och multiplikation när man arbetar med flyttal ) vara icke-associativa.

Egenskapen generaliseras naturligt till fallet -ary: en operation kallas associativ om identiteten gäller för alla: $n$ $\varphi \colon X^{n}\to X$ $i = 1, \prickar, n$

\varphi (\varphi (x_{1},\dots,x_{n}),x_{n+1},\dots,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\ prickar ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n -ett})

Försvagade versioner av associativitetsegenskapen - maktassociativitet , alternativhet , elasticitet - i dem är det endast möjligt att ändra ordningen för sekventiell tillämpning för en begränsad uppsättning fall.

Litteratur

Associativitet - artikel från Encyclopedia of Mathematics . O.A. Ivanova, D.M. Smirnov
Shevrin L. N. . Kapitel IV. Semigrupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .