Oändligt utrymme

Ett oändligt dimensionellt utrymme är ett vektorrum med en oändligt stor dimension . Studiet av oändligt dimensionella rum och deras kartläggningar är huvuduppgiften för funktionell analys. De enklaste oändligt dimensionella utrymmena är Hilbert utrymmen , som är närmast i egenskaper ändligt dimensionella euklidiska utrymmen [1] .

Definition

Ett linjärt vektorrum kallas oändligt dimensionellt om det för något heltal innehåller ett linjärt oberoende system bestående av vektorer [2] [3] . $N>0$ $N$

Grund

För ett oändligt dimensionellt utrymme finns det olika definitioner av en bas . Så, till exempel, är Hamel-basen definierad som en uppsättning vektorer i ett linjärt rymd, så att vilken rymdvektor som helst kan representeras som någon ändlig linjär kombination av dem på ett unikt sätt.

För topologiska vektorrum kan en Schauder-bas definieras . Systemet av element utgör utrymmets Schauderbas om varje element är unikt representerat som en konvergent serie [4] . Schauderbasen finns inte alltid. ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\))$ $E$ $x\in E$ ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k))$

Exempel

Linjärt utrymme för kontinuerliga funktioner på ett givet intervall [2] .
Hilbertrum som bildas av en oändlig talföljd med en konvergent kvadratsumma [5] . $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$
Mängden av alla polynom [6] .
Fasrummet i statistisk fysik är nästan oändligt dimensionellt. [7]
Utrymmet av kvadratsammanställbara sekvenser

Egenskaper

Ett oändligt dimensionellt utrymme är inte isomorft till något ändligt dimensionellt [8] .

Se även

ändligt dimensionellt utrymme

Anteckningar

↑ Funktionell analys // Mathematical Encyclopedic Dictionary / kap. ed. Yu. V. Prokhorov . - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - sid. 613-615
↑ 1 2 Efimov, 2004 , sid. 33.
↑ Shikin E. V. Linjära utrymmen och avbildningar. - M., Moscow State University , 1987. - sid. 17
↑ Crane, 1964 , sid. 74.
↑ Shilov, 1961 , sid. 182.
↑ Efimov, 2004 , sid. 42.
↑ Manin Yu.I. Matematik som metafor. - M., MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-287-9 . - Med. 148
↑ Efimov, 2004 , sid. 39.

Litteratur

Efimov N.V. , Rozendorn E.R. Linjär algebra och multidimensionell geometri. - M. : Fizmatlit, 2004. - 464 sid. - ISBN 5-9221-0386-5 .
Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. — M .: Nauka, 1961. — 436 sid.
ed. Crane S.G. Funktionsanalys. - M. : Nauka, 1964. - 424 sid. - 17 500 exemplar.