Konvex funktion

En konvex funktion ( konvex funktion uppåt ) är en funktion för vilken segmentet mellan två punkter i dess graf i vektorrymden inte ligger högre än motsvarande båge i grafen. Motsvarande: konvex är en funktion vars subgraf är en konvex mängd .

En konkav funktion ( nedåt konvex funktion ) är en funktion vars korda mellan två punkter i grafen inte ligger lägre än den formade bågen på grafen, eller, på motsvarande sätt, vars epigraf är en konvex uppsättning.

Begreppen konvexa och konkava funktioner är dubbla , dessutom definierar vissa författare en konvex funktion som konkav, och vice versa [1] . Ibland, för att undvika missförstånd, används mer explicita termer: nedåtkonvex funktion och uppåtkonvex funktion.

Konceptet är viktigt för klassisk matematisk analys och funktionell analys , där konvexa funktionaler studeras särskilt , samt för tillämpningar som optimeringsteori , där en specialiserad underavdelning särskiljs - konvex analys .

Definitioner

En numerisk funktion definierad på ett visst intervall (i allmänhet på en konvex delmängd av något vektorrum ) är konvex om för två valfria värden i argumentet och för vilket tal som helst gäller Jensens olikhet : $x$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \höger)

Anteckningar

Om denna ojämlikhet är strikt för alla och sägs funktionen vara strikt konvex . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Om den omvända ojämlikheten håller, sägs funktionen vara konkav (respektive strikt konkav i det strikta fallet).
Om för vissa den starkare ojämlikheten håller $\varepsilon >0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

då sägs funktionen vara starkt konvex .

Egenskaper

En funktion som är konvex på ett intervall är kontinuerlig på allt , differentierbar på allt utom för högst en uppräkningsbar uppsättning punkter, och två gånger differentierbar nästan överallt . $f$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$
Varje konvex funktion är subdifferentierar (har en subdifferentiell ) över hela definitionsdomänen.
En konvex funktion har ett stödhyperplan av sin epigraf som passerar genom vilken punkt som helst .
En kontinuerlig funktion är konvex på om och endast om ojämlikheten $f$ ${\mathbb {I}}$ $x,y\in {\mathbb {I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
En kontinuerligt differentierbar funktion av en variabel är konvex på ett intervall om och endast om dess graf inte ligger under tangenten ( referenshyperplan ) som ritas till denna graf vid någon punkt i konvexitetsintervallet.
En konvex funktion av en variabel i ett intervall har vänster- och högerderivator; den vänstra derivatan vid en punkt är mindre än eller lika med den högra derivatan; derivatan av en konvex funktion är en icke-minskande funktion.
En två gånger differentierbar funktion av en variabel är konvex på ett intervall om och endast om dess andraderivata är icke-negativ på detta intervall. Om andraderivatan av en två gånger differentierbar funktion är strikt positiv, så är en sådan funktion strikt konvex, men det omvända är inte sant (till exempel är funktionen strikt konvex på , men dess andraderivata vid en punkt är lika med noll) . ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4))$ $\left[-1,1\right]$ $x=0$
Om funktionerna är konvexa, är någon av deras linjära kombinationer med positiva koefficienter också konvexa. $f$ $g$ $af+bg$ $a$ $b$
Det lokala minimumet för en konvex funktion är också det globala minimumet (för uppåtriktade konvexa funktioner är det lokala maximumet det globala maximumet).
Varje stationär punkt i en konvex funktion kommer att vara ett globalt extremum.

Anteckningar

↑ Klyushin V. L. Högre matematik för ekonomer / ed. I. V. Martynova. - Utbildningsupplaga. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 sid. — ISBN 5-16-002752-1 .

Litteratur

Konvexitet och konkavitet / Telyakovsky S. A. // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Konvexitet och konkavitet // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakh encyclopedias , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (ryska) (CC BY SA 3.0)