Konvext metriskt utrymme

Konvexa metriska utrymmen definieras intuitivt som metriska utrymmen med egenskapen att varje "segment" som förbinder två punkter i det utrymmet innehåller andra punkter än dess ändar.

Definition

Betrakta ett metriskt mellanrum ( X , d ) och låt x och y vara två punkter i X. En punkt z i X är mellan x och y om alla tre punkterna är parvis distinkta, och

d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),

det vill säga triangelojämlikheten blir en jämlikhet. Ett konvext metriskt utrymme är ett metriskt utrymme ( X , d ) så att det för två distinkta punkter x och y i X finns en tredje punkt z i X som ligger mellan x och y .

Anteckningar

Metrisk utbuktning:

innebär inte konvexitet i vanlig mening för delmängder av det euklidiska rummet (se exemplet med rationella tal)
innebär inte anslutning (se exemplet med rationella tal)
inte medför geodetisk konvexitet (engelska) av Riemannska grenrör (till exempel kan man överväga ett euklidiskt utrymme med en sluten skiva utskuren).

Exempel

Euklidiska utrymmen, det vill säga det vanliga tredimensionella utrymmet och dess analoger för andra dimensioner, är konvexa metriska utrymmen. Med tanke på två godtyckliga distinkta punkter och i ett sådant mellanrum, bildar uppsättningen av alla punkter som uppfyller ovanstående "triangellikhet" ett linjesegment mellan och som alltid innehåller andra punkter än och I själva verket innehåller den ett kontinuum av punkter . $x$ $y$ $z$ $x$ $y,$ $x$ $y.$

Varje konvex mängd i ett euklidiskt utrymme bildar ett konvext metriskt utrymme med den inducerade euklidiska normen. i. För slutna mängder är det omvända också sant: om en sluten delmängd av ett euklidiskt utrymme, tillsammans med det inducerade avståndet, är ett konvext metriskt utrymme, så är det också en konvex mängd (detta är ett specialfall av det mer generella påståendet som betraktas Nedan).
En cirkel är ett konvext metriskt utrymme om avståndet mellan två punkter definieras som längden på den kortaste bågen som förbinder dessa punkter på cirkeln.

Metriska segment

Låta vara ett godtyckligt metriskt utrymme (inte nödvändigtvis konvext). En delmängd kallas ett metriskt segment mellan två distinkta punkter och vid om det finns ett numeriskt segment och en isometrisk mappning $(X,d)$ $S\subset X$ $x$ $y$ $x,$ $[a,b]$

\gamma :[a,b]\till X,

sådant och $\gamma ([a,b])=S,$ $\gamma (a)=x$ $\gamma (b)=y.$

Det är uppenbart att vilken punkt som helst i detta metriska segment , med undantag för dess "ändar" och ligger mellan och . Som en konsekvens, om det i ett metriskt utrymme finns metriska segment mellan två olika punkter i utrymmet, så är det en konvex metriskt utrymme. $S$ $x$ $y$ $x$ $y.$ $(X,d)$

I allmänhet är det omvända inte sant. De rationella talen bildar ett konvext metriskt utrymme med det vanliga metriska, men det finns inget segment som förbinder två rationella tal och endast består av rationella tal. Icke desto mindre, om är ett konvext metriskt utrymme, och dessutom är komplett , kan det bevisas att det för två punkter i det finns ett metriskt segment som förbinder dem, generellt sett, inte det enda. $(X,d)$ $x\ney$ $X$

Konvexa metriska mellanslag och konvexa uppsättningar

Som noterats i exempelavsnittet bildar slutna delmängder av ett euklidiskt utrymme konvexa metriska utrymmen om och endast om de är konvexa mängder. Det är naturligt att anta att konvexa metriska rum är en generalisering av begreppet konvexitet, där linjära segment ersätts med metriska.

Det bör dock noteras att metrisk konvexitet som definieras på detta sätt saknar en av de viktigaste egenskaperna hos euklidiska konvexa uppsättningar, nämligen konvexiteten för skärningspunkten mellan två konvexa uppsättningar. I själva verket, som påpekades i avsnittet med exempel, bildar en cirkel med avståndet mellan två punkter, mätt som längden på den kortaste bågen som förbinder dem, ett konvext och fullständigt metriskt utrymme .

Men om och är två punkter på en cirkel som är diametralt motsatta varandra, så finns det två metriska segment som förbinder dem. Dessa två bågar är metriskt konvexa, men deras skärningspunkt är inte metriskt konvexa. $x$ $y$ ${\displaystyle \{x,y\))$

Se även

internt mått

Bibliografi

Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A.Enintroduktion till metriska utrymmen och fixpunktsteori . - Wiley-IEEE, 2001. - ISBN 0-471-41825-0 .

Kaplansky, Irving. Mängdteori och metriska utrymmen (neopr.) . - American Mathematical Society, 2001. - ISBN 0-8218-2694-8 .