Hyperyta

En hyperyta är en generalisering av begreppet en yta av ett 3-dimensionellt utrymme för ett n-dimensionellt utrymme; är en mångfald av dimension n som är inbäddad i ett euklidiskt utrymme med en dimension större . $n+1$

Hyperytan som objekt spelar en viktig roll i differentialgeometrin; många viktiga teorem för matematisk analys kan lätt omformuleras med hjälp av hyperytor (till exempel Stokes formel och dess speciella fall).

Hyperytan är det vanligaste ämnet för rymdbuntar.

Ett exempel är skiktningen av konfigurationsutrymmet (utrymmet för alla möjliga tillstånd i systemet) enligt energivärdet. Detta specialfall kallas en endimensionell rymdbunt (eftersom vi kan tilldela varje hyperyta ett reellt tal - energi).

Differentialoperatorer ( rotor , etc.) är också formulerade i termer av hyperytor. Med tanke på t.ex. flödet av ett vektorfält genom en yta (det är också en hyperyta) i tredimensionellt rymd, får vi någon egenskap hos detta fält, som kan visualiseras.

I det flerdimensionella fallet försvinner synligheten av begreppet "vektorfältflöde"; ändå är alla de grundläggande egenskaperna hos en hyperyta bevarade ( Ostrogradsky-Gauss-satsen ).

På grund av förekomsten av vissa egenskaper som är lika inneboende i alla hyperytor ( Stokes sats ), särskiljs en hyperyta till ett separat objekt.

Enhet normal vektor

Låt hyperytan ges av parametriska ekvationer:

(1)\qquad {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})

Vi kommer överallt i detta fall att betrakta funktionerna (1) som tillräckligt jämna (kontinuerliga andraderivator), med en icke-degenererad metrisk tensor . Koordinatvektorerna vid en punkt i grenröret definierar ett affint delrum , ett hyperplan som tangerar grenröret. Det ortogonala komplementet till hyperplanet är linjen som går genom den givna punkten på grenröret och vinkelrätt mot den. Vi väljer (en av de två möjliga) riktningen för denna linje och sätter enhetsvektorn på linjen . Vid en angränsande punkt (nära punkten ) av grenröret, kommer den ortogonala linjen att vara nära linjen , så att projektionen av vektorn på redan unikt definierar en positiv riktning på linjen . Lägg åt sidan i denna positiva riktning den direkta enhetsvektorn . När vi flyttar från en punkt i grenröret till en annan i någon region av grenröret får vi en vektorfunktion: $g_{{ij}}=({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$ ${\mathbf {r}}_{i}={\partial {\mathbf {r}} \over \partial u^{i}}$ $P$ $L$ $\mathbf {n}$ $P$ $P'$ $L'$ $L$ $L'$ $L'$ $L'$ ${\mathbf {n))'$

(2)\qquad {\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(P)={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n })

Denna funktion kommer att vara kontinuerlig (eftersom hyperytan (1) är slät, utan singulära punkter). Låt oss försöka utöka funktionen till hela grenröret . Detta kan göras i det fall då vi, när vi rör oss längs en stängd kontur som ligger i hyperytan, med start från en punkt och beräknar normalvektorn genom kontinuitet, kommer tillbaka till en punkt med samma riktning som normalvektorn. En sådan hyperyta kallas bilateral eller indikativ . Men det finns också sådana hyperytor när vi, efter att ha kringgått någon sluten kontur, kommer tillbaka till en punkt med motsatt normalvektor. Sådana hyperytor kallas ensidiga eller icke- orienterbara . Exempel på ensidiga hyperytor är Möbiusremsan och Kleinflaskan . $P$ $P$ $P$

Från normalvektorns ortogonalitet till hyperytans koordinatvektorer har vi ekvationen:

(3)\qquad ({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{i})=0

och enhetslängden för normalvektorn beskrivs av ekvationen:

(4)\qquad {\mathbf {n}}^{2}=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}})=1

Total krökningstensor

Från uttryck

(5)\qquad {\mathbf {r}}_{{ij}}=\Gamma _{{ij}}^{k}{\mathbf {r}}_{k}+{\mathbf {b}} _{{I j}}

och det faktum att det bara finns en riktning ortogonal mot vektorerna , det följer att alla vektorer är kolinjära till vektorn , dvs. vi kan skriva: $\mathbf {n}$ ${\mathbf {r}}_{i}$ $\mathbf {n}$

(6)\qquad {\mathbf {b}}_{{ij}}={\mathbf {n}}b_{{ij}}

Tal är projektioner av vektorer på normalvektorn och kan därför vara både positiva och negativa. Enligt formel (6) är krökningen för alla geodetiska linjer som passerar genom en fast punkt i grenröret parallell med vektorn (krökningscentrum ligger på en rät linje vinkelrät mot grenröret): $b_{{ij}}$ ${\mathbf {b}}_{{ij}}$ $\mathbf {n}$ $P$ $\mathbf {n}$

(7)\qquad {\mathbf {k}}={\mathbf {b}}_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}b_{{ij }}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}k

(7a)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}

Härledda normalvektorer

Differentiering med avseende på koordinaterna för grenröret med formel (4) ger:

(8)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}{\mathbf {n}}^{2}=2({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}}_{ i})=0

det vill säga derivatorna av enhetsnormalvektorn är ortogonala mot själva normalvektorn och ligger därför tangent till hyperplansgrenröret. Vi kan expandera vektorn i termer av basvektorerna för tangentrymden: ${\mathbf {n}}_{i}={\partial {\mathbf {n}} \over \partial u^{i}}$ $\mathbf {n}$ ${\mathbf {n}}_{i}$

(9)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=\alpha _{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Låt oss hitta expansionskoefficienterna . För att göra detta multiplicerar vi de vänstra och högra delarna av formel (9) skalärt med vektorn . Till vänster har vi: $\alpha _{i}^{j}$ ${\mathbf {r}}_{k}$

(10)\qquad ({\mathbf {n}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\partial _{i}({\mathbf {n}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k})-({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{{ik}})=-b_{{ik}}

Och för den rätta:

(11)\qquad \alpha _{i}^{j}({\mathbf {r}}_{j}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\alpha _{i}^{ j}g_{{jk}}=\alpha _{{ik}}

Från formlerna (9-11) får vi följande formel för att beräkna derivatorna av enhetsnormalvektorn i termer av den totala krökningstensorn:

(12)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=-b_{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Observera att vektorn är ortogonal mot koordinaterna på grenröret, och därför är dess kovariantderivata densamma som den partiella derivatan (liknar gradienten för en skalär): $\mathbf {n}$

(13)\qquad \nabla _{i}{\mathbf {n}}=\partial _{i}{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}

För en geodetisk linje , som vi kommer att betrakta som en krökt linje i ett omslutande (n + 1)-dimensionellt euklidiskt utrymme, kommer den överyta normalvektorn att sammanfalla med kurvans huvudnormalvektor om talet i formel (7a) är positivt , eller kommer att vara den motsatta vektorn (om <0). Låt oss hitta vridningen av geodetiken : $\mathbf {n}$ $k$ $k$ ${\boldsymbol {\varkappa ))$

(14)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}=-k{\boldsymbol {\tau }}+{\boldsymbol {\varkappa }}

(15)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}={\mathbf {n}}_{i}{du^{i} \over ds}={\mathbf {n}}_{ i}\tau ^{i}=-b_{j}^{i}\tau ^{j}{\mathbf {r}}_{i}

(16)\qquad {\boldsymbol {\varkappa }}={d{\mathbf {n}} \over ds}+k{\boldsymbol {\tau }}=(-b_{j}^{i}\tau ^{j}+k\tau ^{i}){\mathbf {r}}_{i}

Från formel (16) ser vi att vridningen av den geodetiska linjen kommer att vara noll om tangentens vektor och är en egenvektor för matrisen : $\tau ^{i}$ $b_{j}^{i}$

(17)\qquad b_{j}^{i}\tau ^{j}=k\tau ^{i}

Huvudkurvaturer och riktningar för en hyperyta

Den symmetriska tensorn vid en tangent vid en punkt till en vektorrymds hyperyta definierar en linjär transformation: $b_{{ij}}$ $P$

(18)\qquad y_{i}=b_{i}^{j}x_{j}

och vi kan lägga problemet på egenvärdena och vektorerna för denna transformation. Låt oss först gå till ett koordinatsystem som kommer att vara rektangulärt kartesiskt vid punkten . Eftersom den metriska tensorn är enhet vid denna punkt ( ), kommer de kovarianta och kontravarianta koordinaterna för tensorn att vara desamma, så transformation (18) utförs av en symmetrisk matris . Som är känt från teorin om matriser har en symmetrisk matris ömsesidigt ortogonala egenvektorer (vi kan också betrakta dem som enheter), och alla egenvärden som motsvarar dem är reella tal (som kan vara både positiva och negativa). I det valda koordinatsystemet har vi: $P$ $g_{ij}=\delta _{ij}$ $b_{{ij}}$ $b_{i}^{j}$ $n$ ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))),\;s=1,2,\dots n$ $k^{{(s)}}$

(19)\qquad b_{i}^{j}\tau _{j}^{{(s)}}=k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)} }

(20)\qquad \sum _{i}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)))=({\boldsymbol {\tau }}^ {{(s)}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{{(p))))=\delta ^{{sp}}={\begin{cases}1,&s=p\\0 ,&s\neq p\end{cases}}

Formel (19) har ett tensorkaraktär och är därför giltig i alla koordinatsystem, och ortogonaliteten för egenvektorer (20) kan också skrivas i vilket koordinatsystem som helst genom den metriska tensorn:

(21)\qquad g^{{ij}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^{{(p)}}=g_{{ij}}\tau ^ {{(s)i}}\tau ^{{(p)j}}=\delta ^{{sp}}

Med formeln (7a) kan vi hitta krökningen av en geodetisk linje dragen parallellt med en av egenvektorerna : ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))$

(22)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{{(s)i}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}\tau _{j }^{{(s)}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}

Egenvärdena kallas hyperytans huvudsakliga krökningar , och egenvektorerna som motsvarar dem kallas huvudriktningarna. $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots k^{{(n)}}$

I ett koordinatsystem som vid en hyperytpunkt har koordinatvektorer som sammanfaller med huvudriktningarna, kommer den totala krökningstensormatrisen att vara diagonal: $P$ $b_{{ij}}=b_{i}^{j}$

(23)\qquad B=(b_{{ij)))={\begin{bmatrix}k^{{(1)}}&0&\cdots &0\\0&k^{{(2)}}&\cdots &0 \\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &k^{{(n)}}\end{bmatrix}}

Detsamma kan skrivas i tensornotation:

(24)\qquad b_{{ij}}=k^{{(i)}}\delta _{{ij}}

I denna formel utförs inte addition med index . $i$

Låt oss skriva ner tensorns spektrala expansion med hjälp av egenvärdena och vektorerna. I ett godtyckligt koordinatsystem har vi: $b_{{ij}}$

(25)\qquad b_{{ij}}=\sum _{{s}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^ {{(s)}}

Peterson-Codazzis ekvationer

Betrakta verkan av kommutatorn av kovarianta derivator på koordinatvektorerna:

(26)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=-R_{{\,ijk}}^{s}{\mathbf {r} }_{s}

Vi kan skriva denna kommutator i termer av den totala krökningstensorn:

(27)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=\nabla _{j}(\nabla _{k}{\mathbf {r} }_{i})-\nabla _{k}(\nabla _{j}{\mathbf {r}}_{i})=\nabla _{j}{\mathbf {b}}_{{ki }}-\nabla _{k}{\mathbf {b}}_{{ji}}=

\qquad =(\nabla _{j}{\mathbf {n}})b_{{ki}}+{\mathbf {n}}\nabla _{j}b_{{ki}}-(\nabla _{ k}{\mathbf {n}})b_{{ji}}-{\mathbf {n}}\nabla _{k}b_{{ji}}=-(b_{j}^{s}b_{{ ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}}){\mathbf {r}}_{s}+{\mathbf {n}}(\nabla _{j}b_{{ki} }-\nabla _{k}b_{{ji}})

Genom att jämföra formlerna (26) och (27), finner vi:

(28)\qquad R_{{\,ijk}}^{s}=b_{j}^{s}b_{{ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}},\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}

(29)\qquad \nabla _{j}b_{{ki}}=\nabla _{k}b_{{ji}}

Ekvation (29) kallas Peterson-Codazzis ekvation . Denna likhet kan tolkas enligt följande: den kovarianta derivatan av den totala krökningstensorn för en hyperyta är en symmetrisk tensor med tre index:

(30)\qquad \nabla _{i}b_{{jk}}=b_{{ijk}}

Inre krökningstensor

Låt oss ersätta den spektrala expansionen (25) med formel (28). Hitta Riemann-tensorn:

(31)\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}=\summa _{{p,s}}\left (k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{k}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j} ^{{(s)}}\tau _{l}^{{(s)}}-k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{ l}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j}^{{(s)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)=

\qquad =\sum _{{p,s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j }^{{(s)}}\left(\tau _{k}^{{(p)}}\tau _{l}^{{(s)}}-\tau _{l}^{{ (p)}}\tau _{k}^{{(s)}}\höger)

Låt oss introducera notationen för en bivector - ett orienterat område byggt på två vektorer av huvudriktningar: ${\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)))$

(32)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}={\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{ {(s)}}

eller samma i komponenter:

(33)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}=\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j}^{{(s)}} -\tau _{j}^{{(p)}}\tau _{i}^{{(s)}}

Dessa bivektorer har enhetsarea och är ömsesidigt ortogonala:

(34)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}|=|{\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))||{\boldsymbol {\tau } }^{{(s)}}|\sin \phi =1

(35)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}\sigma ^{{(kl)\,ij}}=0,\;{\mbox{if }}(ps)\ neq(kl)

På höger sida av formel (31) är de diagonala termerna med samma index lika med noll, och de off-diagonala termerna är uppdelade i två grupper med samma nummer: termer med , och termer med . Därför kan formel (31) skrivas om enligt följande: $p=s$ $p<s$ $p>s$

(36)\qquad R_{{ijkl}}=\sum _{{p<s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\sigma _{{ij}}^{ {(ps)}}\sigma _{{kl}}^{{(ps)}}

Det är lätt att se från formel (36) och bivectorns egenskap att den algebraiska Bianchi-identiteten måste hålla. När allt kommer omkring, för varje bivector (orienterat område) har vi identiteten: $\sigma ){ij}$

(37)\qquad \sigma _{{ij}}\sigma _{{kl}}+\sigma _{{jk}}\sigma _{{il}}+\sigma _{{ki}}\sigma _ {{jl}}=0

I koordinatsystemet byggt på hyperytans huvudriktningar har egenvektorerna koordinater:

(38)\qquad \tau _{i}^{{(s)}}=\delta _{i}^{s},\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{{(s)}}= \{0,0,\dots 1,0,\dots 0\}

Här, i uttrycket inom parentes, är enheten på -th plats, resten av koordinaterna är lika med noll. $s$

Det är också lätt att skriva ner koordinaterna för bivektorerna med formler (33): $\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}$

(39)\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}={\begin{cases}1,&i=p,\,j=s\\-1,&i=s,\,j= p\\0,&{\mbox{för alla andra }}i,j\end{fall}}

Från (39) och (36) hittar vi komponenter som inte är noll i Riemann-tensoren:

(40)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}},\qquad i\neq j

Vidare, eftersom den metriska tensorn i det valda koordinatsystemet är lika med identitetsmatrisen, finner vi Ricci-tensorn och den skalära krökningen :

(41)\qquad R_{{ij}}=\sum _{{s}}R_{{isjs}}=0,\qquad {\mbox{if }}i\neq j

(41a)\qquad R_{{ii}}=\summa _{{j\neq i}}R_{{ijij}}=k^{{(i)}}\summa _{{j\neq i}} k^{{(j)}}

(42)\qquad R=\summa _{{i,j \over i\neq j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\summa _{{i< j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}

Reflektion i en enda hypersfär ${\mathbb {S}}^{n}$

För varje punkt på hyperytan har vi en enhetsnormalvektor (formel 3), som vi sätter åt sidan från ursprunget för det kartesiska koordinatsystemet i det euklidiska dimensionella rummet. Änden av denna vektor (punkt) ligger på en hypersfär med enhetsradie. Låt oss överväga vad bilden av hela hyperytan kan vara på denna hypersfär. ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ ${\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ $(n+1)$

Om hyperytan är platt kommer endast en punkt på hypersfären att vara dess bild. Bilden av en cylinder eller kon kommer att vara en linje på en hypersfär (en cirkel är för en cirkulär cylinder eller kon). I ett mer allmänt fall kommer detta att vara ett område på hypersfären, som i synnerhet kan täcka hela hypersfären, till och med mer än en gång. Så för ett slutet grenrör har vi en heltalskarakteristik - hur många gånger dess bild täcker enhetens hypersfär. Uppenbarligen förändras inte denna egenskap under små deformationer av grenröret och är en topologisk invariant av hyperytan.

För att härleda en integralformel för att beräkna denna invariant behövs en formel för att omvandla volymer vid reflektion till en enhetshypersfär . ${\mathbb {S}}^{n}$

Tänk först på ett litet segment på grenröret, som vi kommer att representera som en vektor . Dess bild på hypersfären kommer att vara ett segment: $d{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}_{i}du^{i}$

(43)\qquad d{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}du^{i}=-(b_{i}^{j}du^{i}){\mathbf {r}}_{j}

Nu kan vi överväga en ruta byggd på vektorer: $n$

(44)\qquad (d{\mathbf {r}})^{{(1)}}={\mathbf {r}}_{1}du^{1},\;(d{\mathbf {r }})^{{(2)}}={\mathbf {r}}_{2}du^{2},\;\dots \;(d{\mathbf {r}})^{{(n )}}={\mathbf {r}}_{n}du^{n}

Volymen på denna ruta kommer att vara värdet av en multivektor som består av följande vektorer:

(45)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))=({\mathbf {r}}_{1}\wedge {\mathbf {r}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {r}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}

Bilderna av vektorer (44) på hypersfären kommer att vara följande vektorer: ${\mathbb {S}}^{n}$

(46)\qquad {\begin{matrix}(d{\mathbf {n}})^{{(1)))={\mathbf {n}}_{1}du^{1}=(-\ summa _{{i_{1}}}b_{1}^{{i_{1}}}{\mathbf {r}}_{{i_{1}}})du^{1}\\(d{ \mathbf {n}})^{{(2)}}={\mathbf {n}}_{2}du^{2}=(-\summa _{{i_{2}}}b_{2} ^{{i_{2))}{\mathbf {r}}_{{i_{2}}})du^{2}\\\cdots \\(d{\mathbf {n}})^{{ (n)}}={\mathbf {n}}_{n}du^{n}=(-\summa _{{i_{n}}}b_{n}^{{i_{n}}}{ \mathbf {r}}_{{i_{n}}})du^{n}\end{matrix}}

Från dessa bilder skapar vi också en multivektor:

(47)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {n}})))=({\mathbf {n}}_{1}\wedge {\mathbf {n}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {n}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=(-1)^{n}\det (b_{j}^{i})\,d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))}

Det kan ses från formel (47) att bilden av multivektorn är proportionell mot originalet med en proportionalitetskoefficient, som vi betecknar enligt följande:

(48)\qquad K^{{[n]}}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})=(-k^{{(1)}})(- k^{{(2)}})\cdots (-k^{{(n)}})

och kalla det den Gaussiska krökningen av den e graden. Denna koefficient , upp till ett tecken, är lika med produkten av de huvudsakliga krökningarna av hyperytan. $n$

Produktegenskaperna hos de huvudsakliga krökningarna av en tvådimensionell hyperyta studerades först av den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss 1827 .

Gaussisk integral

Betrakta en sluten hyperyta (som en sfär, torus, etc.) och integrera den Gaussiska krökningen över hela hyperytan (detta är den Gaussiska integralen): $M$

(49)\qquad I=\int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})))}

Integranden på grund av (47) är lika med volymelementet för enhetens hypersfär , taget med ett plus- eller minustecken, beroende på tecknet på den Gaussiska krökningen. En bild på en hypersfär kan ha veck när samma punkt i hypersfären är täckt med ett "plustecken" för en punkt i grenröret och med ett "minustecken" för någon annan punkt i grenröret. I detta fall kompenseras motsvarande bidrag till integralen (49). Men eftersom bilden inte har brutna kanter (för tvåsidiga hyperytor) måste den täcka hela hypersfären, kanske flera gånger. Detta faktum kan skrivas som följande formel: ${\mathbb {S}}^{n}$

(50)\qquad \int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})}}=N\omega _{{n+1} }

där är ett heltal (för tvåsidiga hyperytor), som kan vara antingen positivt eller negativt, och är volymen av en enhetshypersfär: $N$ $\omega _{{n+1}}$

(51)\qquad \omega _{{n+1}}=\omega ({\mathbb {S}}^{n})={2\pi ^{{n+1 \över 2}} \över \ Gamma({n+1 \över 2})}

För ensidiga hyperytor är formel (50) också giltig, men i den är talet ett halvt heltal (eftersom samma punkt på grenröret har två bilder - diametralt motsatta punkter på hypersfären). $N$

Observera att det inte för alla heltal och halvheltal finns en slät stängd hyperyta för vilken likhet (50) gäller. Till exempel, om dimensionen på en hyperyta är n = 1, det vill säga en kurva på ett plan, kan talet inte vara ett halvt heltal (den droppformade kurvan har en svans där normalvektorerna är motsatta, men denna punkt är inte en vanlig punkt). Heltal realiseras av kurvor som (på grund av självkorsningar) sveper sig runt en fast punkt i planet en gång. Formel (50) för kurvan kommer att skrivas enligt följande: $N$ $N$ $N$ $N$ $L$

(51)\qquad -\oint _{L}kds=2\pi N

var är kurvans krökning, tagen med plus- eller minustecken, beroende på om kurvan böjs medurs eller moturs. Talet N = 0 realiseras för en kurva med åtta siffror. $k$ $N$

För en tvådimensionell hyperyta ( ) i tredimensionell rymd är talet hälften av Euler-karaktäristiken: $S$ $n=2$ $N$

(52)\qquad N={1 \över 2}\chi (S)

och kan därför ta på alla heltals- och halvheltalsvärden mindre än eller lika med ett: $N\leq 1$

Exempel

I tvådimensionellt rymd (plan) är varje sluten kurva en hyperyta