Erdős-Strauss gissning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 mars 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Erdős-Strauss-hypotesen  är en talteoretisk hypotes enligt vilken ett rationellt tal för alla heltal kan representeras som summan av tre alikvotbråk (bråk med en enhet i täljaren), det vill säga det finns tre positiva heltal , och , så att:

.

Formulerad 1948 av Pal Erdős och Ernst Strauss [1] .

Computer brute force verifierade hypotesen för alla siffror upp till [2] , men beviset för alla är fortfarande ett öppet problem från och med 2015 .

Begränsningar

Heltal , och behöver inte vara olika, men om de är olika bildar de en egyptisk bråkdel som representerar talet . Det finns till exempel två lösningar för:

.

Begränsningen av positiviteten av siffrorna , och är väsentlig, eftersom om negativa siffror var tillåtna, skulle problemet bli trivialt. Dessutom, om är komposit , kan lösningen för hittas direkt från lösningarna för eller . Av denna anledning måste det minsta motexemplet, om något finns, vara ett primtal och måste vara kongruent med en medlem av en av de sex oändliga aritmetiska progressionerna modulo 840 [3] .

För , Det spelar ingen roll om alla tre siffror , och måste vara olika eller inte - om det finns en lösning för några tre heltal , och , så finns det en lösning med olika värden. Men för fallet finns det en unik lösning upp till en permutation av villkoren för summan.

Historik

Sökandet efter att expandera rationella tal till summor av alikvotbråk går tillbaka till matematikerna i det forntida Egypten , där egyptiska bråktal användes för att representera bråktal. Egyptierna uppfann tabeller, såsom 2/n-tabellen från Ahmes-papyrusen , som innehåller expansioner av 2/ n bråk , varav de flesta innehåller två eller tre termer. Egyptiska bråk innehåller vanligtvis den ytterligare begränsningen att alla bråk måste vara distinkta, men för Erdős-Strauss-förmodan spelar detta ingen roll - om 4/ n kan representeras som högst tre alikvotbråk, kan detta tal också representeras som en summa av högst tre olika alikvotfraktioner.

Den giriga algoritmen för egyptiska bråk , som beskrivs för första gången i Fibonacci 1202 i hans bok om kulramen , hittar en faktorisering där varje på varandra följande term är den största alikvotbråken som inte överstiger återstoden av representationen (den ursprungliga bråkdelen, minus de redan beräknade villkoren). För bråkdelar av formen 2/ n eller 3/ n använder den giriga algoritmen maximalt två respektive tre termer. Det kan visas att ett tal av formen 3/ n har en tvåfaktorsupplösning om och endast om n har en faktor kongruent med 2 modulo 3, och tre fraktioner krävs i de andra expansionerna [4] .

Således, för täljare 2 och 3, är frågan om hur många termer i summan av den egyptiska bråkdelen som krävs helt löst, och bråkdelar av formen 4/ n är det första fallet för vilket det erforderliga antalet termer av summan kvarstår okänd. Den giriga algoritmen ger summor av två, tre eller fyra termer, beroende på värdet av n modulo 4. Om n är kongruent med 1 modulo 4, ger girig algoritm en fyrfaktorsfaktorisering. I värsta fall måste alltså expansionen av 4/ n ha tre eller fyra termer. Erdős-Strauss-förmodan säger att i detta fall, liksom för täljaren 3, är det maximala antalet termer som krävs i expansionen tre.

Modulo jämförelse

Att multiplicera båda sidor av ekvationen 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z med nxyz leder till ekvationen 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) [5] . Eftersom ekvationen är en algebraisk ekvation med heltalsvariabler, är ekvationen ett exempel på en diofantisk ekvation . Hasses princip för diofantiska ekvationer säger att en heltalslösning av en diofantisk ekvation kan erhållas som en kombination av heltalslösningar modulo alla möjliga primtal . Principen gör lite för Erdős-Strauss-förmodan, eftersom ekvationen 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) är lätt lösbar för alla kongruensmoduler vilket primtal som helst. Emellertid är modulär aritmetik ett viktigt verktyg för studiet av gissningar.

För ett värde på n som uppfyller vissa kongruenser kan man hitta en expansion för 4/ n direkt från ekvationen. Till exempel, för n ≡ 2 (mod 3), har 4/ n en nedbrytning

Här är var och en av de tre nämnarna n , ( n − 2)/3 + 1 och n (( n − 2)/3 + 1) ett polynom i n och var och en kommer att vara ett heltal när n ≡ 2 (mod 3). Den giriga algoritmen för egyptiska bråk hittar en lösning med tre eller färre termer om n inte är 1 eller 17 (mod 24), men fallet n ≡ 17 (mod 24) täcks av fall 2 (mod 3), så det enda fallet för vilka båda metoderna inte ger expansion till tre eller färre termer, är detta fallet n ≡ 1 (mod 24).

Om det var möjligt att hitta en lösning enligt ovan för en annan modul och på så sätt bilda ett komplett täckande system av jämförelser, skulle problemet vara löst. Men som Mordell [3] visade , kan ekvationer som ger en lösning för n kongruent med r modulo p endast existera för r som inte är en kvadratisk rest mod p . Till exempel är 2 inte en kvadratisk rest mod 3, så förekomsten av en identitet för variabler n kongruent med 2 modulo 3 motsäger inte Mordells resultat, men 1 är en kvadratisk rest mod 3, så det kan inte finnas en liknande identitet för värden n som är kongruenta med 1 modulo 3.

Mordell listade identiteter som ger en trefaktorsupplösning på 4/ n för fallen n ≡ 2 (mod 3) (enligt ovan), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5 (mod 8), ≡ 2 eller 3 (mod 5) ), ≡ 3, 5 eller 6 (mod 7). Dessa identiteter täcker alla fall där talen inte är kvadratiska rester i de angivna baserna. För stora baser är dock inte alla icke-kvadratiska rester som kan täckas av relationer av denna typ kända. Av Mordells identiteter kan man sluta sig till att det finns lösningar för alla n , möjligen förutom 1, 121, 169, 289, 361 eller 529 modulo 840. 1009 är det minsta primtal som inte omfattas av kongruenssystemet. Genom att kombinera stora modulidentiteter visade Webb (och andra) att antalet bråk med en nämnare i intervallet [1, N ], som skulle kunna tjäna som ett motexempel till gissningen, tenderar att bli noll när N går till oändligheten [6] .

I motsats till Mordells resultat som begränsar användningen av identiteter, finns det ett visst hopp om att använda modulär aritmetik för att bevisa gissningen. Inget primtal kan vara en kvadrat, så enligt Hasse-Minkowski-satsen , om p  är primtal, så finns det ett större primtal q så att p inte är en kvadratisk rest mod q . Ett sätt att bevisa satsen är att för varje primtal p hitta ett större primtal q och en kongruens som löser 4/ n -problemet för n ≡ p (mod q ). Om detta lyckades skulle det bevisas att inget primtal skulle vara ett motexempel, och så skulle gissningen bevisas.

Beräkningsverifiering

Olika författare har gjort en direkt sökning efter ett motexempel. Dessa sökningar kan påskyndas kraftigt om vi bara tar hänsyn till primtal som inte täcks av kända modulo-jämförelseekvationer [7] . Sökningar gjorda av Allan Swett ledde till slutsatsen att hypotesen är sann för alla n upp till 10 14 [2] .

Antal lösningar

Antalet olika lösningar på problemet för 4/ n , som en funktion av n , hittades också genom datorsökning efter litet n , och det visade sig att funktionen växer något oregelbundet. Med utgångspunkt från n = 3 är antalet olika lösningar med olika nämnare [8] :

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ….

Även för stora n finns det fall med ett relativt litet antal lösningar. Så för n = 73 finns det bara sju lösningar.

Elsholtz och Tao [9] visade att det genomsnittliga antalet lösningar på 4/ n -nedbrytningsproblemet (genomsnittligt över antalet primtal upp till n ) är avgränsat ovanifrån polylogaritmiskt i n . För vissa andra diofantiska problem är det möjligt att bevisa att en lösning existerar genom att hitta en asymptotisk nedre gräns för antalet lösningar, men denna typ av bevis finns främst för problem med polynomtillväxt i antalet lösningar, så Elsholtz och Taos resultat gör denna möjlighet osannolik [10] . Elsholtz- och Tao-beviset för gränsen för antalet lösningar är baserat på Bombieri-Vinogradov-satsen , Brun-Tichmarsh-satsen och systemet med modulolikheter som är giltigt för n kongruent med − c eller −1/ c modulo 4 ab , där a och b  är två positiva heltal i samma primtal, och c  är vilken udda faktor som helst av a + b . Om vi ​​till exempel sätter a = b = 1, får vi en av Mordells identiteter, som är giltig för n ≡ 3(mod 4).

Lösningar i negativa tal

Positivitetsbegränsningen , och är väsentlig. Om man antar negativa tal kan lösningen erhållas trivialt med följande två identiteter:

och

För udda n finns det en lösning som innehåller tre termer, varav en är negativ [11] :

Generaliseringar

Den generaliserade versionen av gissningen säger att för varje positivt k finns det ett tal N så att det för varje n ≥ N finns en lösning i positiva heltal av ekvationen k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z . En version av denna gissning för k = 5 föreslogs av Vaclav Sierpinski , och den fullständiga versionen av gissningen beror på Andrzej Schinzel [12] .

Även om den generaliserade hypotesen misslyckas för något värde av k , måste antalet fraktioner för k / n med n mellan 1 och N som inte har en tre-term expansion växa sublinjärt som en funktion av N [6] . I synnerhet om själva Erdős-Strauss-förmodan (fall k = 4) är falsk, så växer antalet motexempel endast sublinjärt. Ännu starkare, för varje fast k kräver endast ett sublinjärt antal värden på n mer än två termer i den egyptiska bråkexpansionen [13] . Den generaliserade versionen av gissningen motsvarar påståendet att antalet oupplösliga fraktioner inte bara är sublinjärt utan begränsat.

Om n är udda, så kan man, i analogi med problemet med att faktorisera i udda egyptiska bråk, fråga om lösningar k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z , där x , y och z är olika positiva udda tal. Det är känt att lösningar i detta fall alltid finns för k = 3 [14] .

Anteckningar

  1. ↑ Elsholtz, 2001 . Den tidigaste publikationen är Erdős, 1950
  2. ↑ 12 Allan Swett . Erdos-Straus förmodan. (inte tillgänglig länk) 
  3. ↑ 12 Mordell , 1967 .
  4. ↑ Eppstein, 1995
  5. ↑ Se till exempel Sander, 1994 för en enkel diofantisk ekvationsformulering under antaganden vilket av talen x , y eller z som är delbart med n .
  6. ↑ 12 Webb , 1970 ; Vaughan, 1970 ; Li, 1981 ; Yang, 1982 ; Ahmadi, Bleicher, 1998 ; Elsholtz, 2001 .
  7. ↑ Obláth, 1950 ; Rosati, 1954 ; Kiss, 1959 ; Bernstein , 1962 Yamamoto , 1965 Terzi, 1971 ; Jollensten 1976 ; Kotsireas, 1999 .
  8. ↑ OEIS - sekvens A073101 _
  9. ↑ Elsholtz, Tao, 2011 .
  10. ↑ Om antalet lösningar till 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 Arkiverad 4 januari 2015 på Wayback Machine , Terence Tao, "What's new", 7 juli 2011.
  11. ↑ Jaroma, 2004 .
  12. ↑ Sierpiński, 1956 ; Vaughan, 1970 .
  13. ↑ Hofmeister, Stoll, 1985 .
  14. ↑ Schinzel, 1956 ; Suryanarayana, Rao, 1965 ; Hagedorn, 2000 .

Litteratur

Länkar