Homeomorfism

Homeomorfism ( grekiska ὅμοιος - liknande, μορφή - form) är en en-till-en och ömsesidigt kontinuerlig kartläggning av topologiska utrymmen . Med andra ord är det en bijektion som förbinder de topologiska strukturerna i två utrymmen, eftersom, under kontinuiteten av bijektionen, bilderna och omvända bilderna av öppna delmängder är öppna uppsättningar som bestämmer topologierna för motsvarande utrymmen.

De utrymmen som är förbundna med en homeomorfism är topologiskt omöjliga att särskilja. Vi kan säga att topologin studerar egenskaperna hos objekt som är oförändrade under homeomorfism.

I kategorin topologiska utrymmen beaktas endast kontinuerliga kartläggningar, så i denna kategori är en isomorfism också en homeomorfism.

Definition

Låt och vara två topologiska rum . En funktion kallas en homeomorphism om den är en-till-en , och både själva funktionen och dess invers är kontinuerliga . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \till Y$ $f$ $f^{-1}$

Relaterade definitioner

Utrymmen i detta fall kallas också homeomorfa eller topologiskt ekvivalenta . $X$ $Y$
- Detta förhållande betecknas vanligtvis som . $X\simeq Y$
En egenskap hos ett utrymme kallas topologisk om den bevaras under homeomorfismer. Exempel på topologiska egenskaper: alla typer av separerbarhet i topologiska utrymmen, koppling och frånkoppling , linjär koppling , kompakthet , enkel koppling , metriserbarhet , såväl som lokala analoger av de listade egenskaperna (lokal koppling, lokal linjär koppling, lokal kompakthet, lokal enkel koppling , lokal metriserbarhet), egenskap att vara topologisk mångfald , ändlig dimensionalitet, oändlig dimensionalitet och dimension av topologiska mångfalder, etc.
En lokal homeomorfism av utrymmen är en kontinuerlig surjektiv karta om varje punkt har ett grannskap så att begränsningen till är en homeomorfism mellan och dess bild . $f:X\till Y$ $x\i X$ $U\ni x$ $f$ $U$ $f|_{U}:U\to f(U)$ $U$ $f(U)$
- Exempel. Kartläggningen är en lokal homeomorfism mellan den verkliga linjen och cirkeln . Dessa utrymmen är dock inte homeomorfa, till exempel, eftersom cirkeln är kompakt medan linjen inte är det. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb {R} }$ $S^{1}$

Homeomorphism theorem

Låta vara ett intervall på tallinjen (öppen, halvöppen eller stängd). Låt vara en bijektion. Då är en homeomorfism om och bara om är strikt monoton och kontinuerlig på $|a,b|\subset \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\delmängd \R$ $f$ $f$ $|a,b|.$

Exempel

Ett godtyckligt öppet intervall är homeomorft till hela tallinjen . En homeomorfism ges till exempel av formeln $(a,b) \subset \mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ $f:(a,b) \to \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{xa}{ba}\höger).

Ett intervall är homeomorft till ett segment i den diskreta topologin , men inte homeomorft i standardnummerlinjetopologin . $(0, \; 1)$ $[0, \; ett]$

Se även

Anteckningar

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys. - M . : Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasiliev V. A. Introduktion till topologi. - M. : FAZIS, 1997. - Utgåva. 3. - xii + 132 sid. - (En student-matematikers bibliotek). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Differentialgeometri och topologielement . - YaGPU , 2007.
Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuell topologi. - M . : Nauka, 1982. - 160 sid.

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Homeomorphism , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4