Schlegel diagram

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett Schlegel-diagram är en projektion av en polytop från till genom en punkt bakom en av dess ytor . Den resulterande figuren är kombinatoriskt ekvivalent med den ursprungliga polytopen. Diagrammet är uppkallat efter Viktor Schlegel , som föreslog denna metod 1886 för att studera de kombinatoriska och topologiska egenskaperna hos polytoper. I dimensionerna 3 och 4 är Schlegel-diagram projektionen av en (3-dimensionell) polyeder till en plan figur respektive projektionen av en 4-dimensionell polyeder i ett tredimensionellt utrymme . Som sådan används Schlegel-diagram ofta för att visualisera 4D-polyedrar.

Byggnad

Den mest elementära beskrivningen av Schlegel-diagrammet för en polyeder ges av Duncan Sommerville [1] :

En mycket användbar metod för att representera en konvex polyeder är den plana projektionen. Om denna projektion är från en yttre punkt, eftersom varje stråle korsar polyedern två gånger, kommer den att representeras av ett polygonområde som är uppdelat två gånger i polygoner. Det finns alltid ett lämpligt val av projektionscentrum så att projektionen av en av ytorna innehåller projektionerna av alla de andra ytorna. Detta kallas Schlegel-diagrammet för polyedern. Schlegel-diagrammet representerar till fullo polyederns morfologi. Ibland är det bekvämt att projicera en polyeder från en vertex. Toppunkten projiceras till oändligheten och visas inte på diagrammet, kanterna som går till det representeras av strålar som går till oändligheten.

Sommerville övervägde också fallet med en simplex i fyrdimensionell rymd [2] : "Schlegeldiagrammet för en simplex i S 4 är en tetraeder uppdelad i fyra tetraedrar." Mer generellt har en polytop i ett n-dimensionellt utrymme ett Schlegel-diagram konstruerat med hjälp av en perspektivprojektion genom en punkt utanför polytopen, ovanför mitten av ansiktet. Alla hörn och kanter av polytopen projiceras på hyperplanet av detta ansikte. Om polytopen är konvex, finns det en punkt nära en yta där denna yta blir yttre, och alla andra ytor är inuti den, medan kanterna inte kommer att skära varandra.

Exempel

Dodekaeder 120 celler

12 femkantiga ansikten på ett plan
120 dodekaedrar (celler) i 3-dimensionell rymd

Olika typer av visualisering av icosahedron


perspektiv
skanna
utsprång

petri
Schlegel
Vertex figur

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Sommervill, 1929 , sid. 100.
  2. ↑ Sommervill, 1929 , sid. 101.

Litteratur

Länkar