Discountinum

Discontinuum är en nolldimensionell [1] perfekt kompakt .

Exempel

Det första exemplet på ett diskontinuum upptäcktes av Georg Cantor - Kantoruppsättningen . Diskontinuum med intressanta egenskaper i tredimensionellt euklidiskt rum byggdes av Pavel Uryson och Louis Antoine . Således är Antoines halsband ett diskontinuum, som komplementet inte bara är kopplat till .

Egenskaper

Alla discontinua är homeomorfa till Cantor-uppsättningen.
Varje mätbar kompakt set är en kontinuerlig bild av en Cantor-set.
Varje perfekt mätbar kompakt set innehåller ett Cantor-set.
- Därför kan varje mätbar kompakt uppsättning antingen räknas eller har kontinuumets kardinalitet .

Anteckningar

↑ En kompakt mängd är nolldimensionell om den, för något par av dess punkter , kan representeras som summan av två disjunkta slutna delmängder , för vilka $K$ $a,b\in K$ $K_{1}\cup K_{2}$ ${\displaystyle a\in K_{1},b\in K_{2))$

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. — M .: GIITL, 1948.
Sobolev VI Föreläsningar om ytterligare kapitel i matematisk analys. — M .: Nauka, 1968.
Uryson PS On Cantor-varieteter, del 1 // Proceedings on topology and other areas of Mathematics. - M. - L. : GITTL, 1954. - T. 1.