Varians av en slumpvariabel
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från
versionen som granskades den 8 april 2021; kontroller kräver
9 redigeringar .
Spridningen av en slumpvariabel är ett mått på spridningen av värdena för en slumpvariabel i förhållande till dess matematiska förväntan . Utsedda i rysk litteratur och ( engelsk varians ) i utländsk. I statistiken används ofta beteckningen eller .
Kvadratroten av variansen, lika med , kallas standardavvikelse , standardavvikelse eller standardspridning. Standardavvikelsen mäts i samma enheter som den slumpmässiga variabeln själv, och variansen mäts i kvadraterna på den enheten.
Det följer av Chebyshevs ojämlikhet att sannolikheten att värdena för en slumpvariabel skiljer sig från den matematiska förväntan av denna slumpvariabel med mer än standardavvikelser är mindre än . I speciella fall kan poängen höjas. Så, till exempel, i minst 95% av fallen tas värdena för en slumpvariabel med normalfördelning bort från dess medelvärde med högst två standardavvikelser och i cirka 99,7% - med högst tre.
Definition
Spridningen av en slumpvariabel kallas den matematiska förväntan av kvadraten på avvikelsen för en slumpvariabel från dess matematiska förväntan.
Låta vara en slumpvariabel definierad på något sannolikhetsutrymme . Då är spridningen
där symbolen står för det förväntade värdet [1] [2] .
Anteckningar
- Om den slumpmässiga variabeln är diskret , då
där är det -:te värdet av den slumpmässiga variabeln, är sannolikheten att den slumpmässiga variabeln tar på sig värdet , är antalet värden som den slumpmässiga variabeln tar.
Bevis på den 2:a formeln
Låta vara en stokastisk variabel oberoende av men med samma fördelning. Sedan , , och
Genom att jämföra dessa två formler får vi den önskade likheten.
där är sannolikhetstätheten för en slumpvariabel.
För att få en opartisk uppskattning av variansen för en slumpvariabel måste värdet multipliceras med . Den opartiska uppskattningen har formen:
Egenskaper
- Variansen för en slumpvariabel är icke-negativ:
- Om variansen för en slumpvariabel är finit, så är dess matematiska förväntan också finit;
- Om en slumpvariabel är lika med en konstant, så är dess varians noll: Det omvända är också sant: om då nästan överallt .
- Variansen av summan av två slumpvariabler är:
, var är deras kovarians .
- För variansen av en godtycklig linjär kombination av flera slumpvariabler sker likheten:
, var .
- I synnerhet för alla oberoende eller okorrelerade slumpvariabler, eftersom deras kovarianser är lika med noll.
- Om är en slumpvariabel från ett par elementära händelser (en slumpvariabel på den kartesiska produkten av sannolikhetsutrymmen), då
Villkorlig varians
Tillsammans med den villkorliga matematiska förväntan , använder teorin om slumpmässiga processer den villkorliga variansen av slumpvariabler .
Den villkorliga variansen för en slumpvariabel med avseende på en slumpvariabel är en slumpvariabel
Dess egenskaper:
- Den villkorliga variansen med avseende på en slumpvariabel är en Y-mätbar slumpvariabel (det vill säga den är mätbar med avseende på sigmaalgebra som genereras av den slumpmässiga variabeln );
- Den villkorliga variansen är icke-negativ: ;
- Den villkorliga variansen är lika med noll om och endast om nästan säkert, det vill säga om och endast om den sammanfaller nästan säkert med någon Y-mätbar storhet (nämligen med );
- Vanlig varians kan också representeras som villkorlig: ;
- Om kvantiteterna och är oberoende, är den slumpmässiga variabeln en konstant lika med .
- Om är två numeriska slumpvariabler, alltså
därav, i synnerhet, det följer att variansen för den villkorade förväntan alltid är mindre än eller lika med variansen för den ursprungliga slumpvariabeln .
Exempel
Låt en stokastisk variabel ha en standard kontinuerlig enhetlig fördelning på , det vill säga dess sannolikhetstäthet ges av likheten
Då är den matematiska förväntan på kvadraten av den slumpmässiga variabeln
,
och den matematiska förväntan av den slumpmässiga variabeln är
Variansen för den slumpmässiga variabeln är
Se även
Anteckningar
- ↑ Kolmogorov A. N. Kapitel IV. Matematiska förväntningar; §3. Chebyshevs ojämlikhet // Grundläggande begrepp inom sannolikhetsteorin. - 2:a uppl. - M . : Nauka, 1974. - S. 63-65. — 120 s.
- ↑ Borovkov A. A. Kapitel 4. Numeriska egenskaper hos slumpvariabler; §5. Dispersion // Sannolikhetsteori. - 5:e uppl. - M. : Librokom, 2009. - S. 93-94. — 656 sid.
Litteratur