Varians av en slumpvariabel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 april 2021; kontroller kräver 9 redigeringar .

Spridningen av en slumpvariabel  är ett mått på spridningen av värdena för en slumpvariabel i förhållande till dess matematiska förväntan . Utsedda i rysk litteratur och ( engelsk varians ) i utländsk. I statistiken används ofta beteckningen eller .  

Kvadratroten av variansen, lika med , kallas standardavvikelse , standardavvikelse eller standardspridning. Standardavvikelsen mäts i samma enheter som den slumpmässiga variabeln själv, och variansen mäts i kvadraterna på den enheten.

Det följer av Chebyshevs ojämlikhet att sannolikheten att värdena för en slumpvariabel skiljer sig från den matematiska förväntan av denna slumpvariabel med mer än standardavvikelser är mindre än . I speciella fall kan poängen höjas. Så, till exempel, i minst 95% av fallen tas värdena för en slumpvariabel med normalfördelning bort från dess medelvärde med högst två standardavvikelser och i cirka 99,7% - med högst tre.

Definition

Spridningen av en slumpvariabel kallas den matematiska förväntan av kvadraten på avvikelsen för en slumpvariabel från dess matematiska förväntan.

Låta vara  en slumpvariabel definierad på något sannolikhetsutrymme . Då är spridningen

där symbolen står för det förväntade värdet [1] [2] .

Anteckningar

där  är det -:te värdet av den slumpmässiga variabeln,  är sannolikheten att den slumpmässiga variabeln tar på sig värdet ,  är antalet värden som den slumpmässiga variabeln tar.

Bevis på den 2:a formeln

Låta vara en stokastisk variabel oberoende av men med samma fördelning. Sedan , , och

Genom att jämföra dessa två formler får vi den önskade likheten.

där  är sannolikhetstätheten för en slumpvariabel.

För att få en opartisk uppskattning av variansen för en slumpvariabel måste värdet multipliceras med . Den opartiska uppskattningen har formen:

Egenskaper

Villkorlig varians

Tillsammans med den villkorliga matematiska förväntan , använder teorin om slumpmässiga processer den villkorliga variansen av slumpvariabler .

Den villkorliga variansen för en slumpvariabel med avseende på en slumpvariabel är en slumpvariabel

Dess egenskaper:

därav, i synnerhet, det följer att variansen för den villkorade förväntan alltid är mindre än eller lika med variansen för den ursprungliga slumpvariabeln .

Exempel

Låt en stokastisk variabel ha en standard kontinuerlig enhetlig fördelning på , det vill säga dess sannolikhetstäthet ges av likheten

Då är den matematiska förväntan på kvadraten av den slumpmässiga variabeln

,

och den matematiska förväntan av den slumpmässiga variabeln är

Variansen för den slumpmässiga variabeln är

Se även

Anteckningar

  1. Kolmogorov A. N. Kapitel IV. Matematiska förväntningar; §3. Chebyshevs ojämlikhet // Grundläggande begrepp inom sannolikhetsteorin. - 2:a uppl. - M . : Nauka, 1974. - S. 63-65. — 120 s.
  2. Borovkov A. A. Kapitel 4. Numeriska egenskaper hos slumpvariabler; §5. Dispersion // Sannolikhetsteori. - 5:e uppl. - M. : Librokom, 2009. - S. 93-94. — 656 sid.

Litteratur