Differential (differentiell geometri)

Differential (från lat. differentia - skillnad, skillnad) i matematik - den linjära delen av ökningen av en differentierbar funktion eller display . Detta begrepp är nära besläktat med begreppet riktningsderivata .

Notation

Differentialen betecknas vanligtvis . Vissa författare föredrar att använda roman för att betona att differentialen är en operator . Skillnaden vid en punkt betecknas , och ibland eller . ( är en linjär funktion på tangentrymden i punkten .) $f$ $df$ $\operatörsnamn {d} f$ $x$ $d_{x}f$ ${\displaystyle df_{x))$ $df[x]$ $d_{x}f$ $x$

Om det finns en tangentvektor vid punkten , då värdet på differentialen på vanligtvis betecknas med , denna notation är redundant, men notationen , och är också giltig. $v$ $x$ $v$ $df(v)$ $x$ $d_{x}f(v)$ $df_{x}(v)$ $df[x](v)$

Notationen används också ; det senare beror på att differentialen är ett naturligt lyft till tangentbuntarna till grenrören och . $f_{*}$ $f\colon M\to N$ $f$ $M$ $N$

Definitioner

För verkligt värderade funktioner

Låt vara en smidig grenrör och en smidig funktion. Differentialen är en 1-form på , vanligtvis betecknad och definierad av relationen $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $f$ $M$ $df$

df(X)=d_{p}f(X)=Xf,

där anger derivatan med avseende på tangentvektorns riktning vid punkten . $xf$ $f$ $X$ $p\in M$

För mappningar av jämna grenrör

Skillnaden för en jämn mappning från en slät grenledning till en grenledning är en mappning mellan deras tangentbuntar , , så att vi har för alla jämna funktioner $F\colon M\to N$ $dF\colon TM\to TN$ $g\colon N\to \mathbb {R}$

[dF(X)]g=X(g\circ F),

där betecknar riktningsderivatan . _ (På vänster sida av likheten tas derivatan i funktionen med avseende på ; till höger i funktionen med avseende på ). $xf$ $f$ $X$ $N$ $g$ $dF(X)$ $M$ $g\circ F$ $X$

Detta begrepp generaliserar naturligtvis begreppen om en funktions differential.

Relaterade definitioner

En punkt i ett grenrör kallas en kritisk punkt på en karta om differentialen inte är surjektiv (se även Sards sats ) $x$ $M$ $f:M\to N$ $d_{x}f:T_{x}M\till T_{f(x)}N$
- Till exempel är kritiska punkter för funktioner exakt stationära punkter. För funktioner är dessa punkter där differentialmatrisen degenererar. $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
- I detta fall kallas
det kritiska värdet . $f(x)$ $f$
En punkt kallas regelbunden om den inte är kritisk. $y\in N$

En jämn karta kallas en nedsänkning om skillnaden för någon punkt är surjektiv .

F\colon M\to N

x\i M

d_{x}F\kolon T_{x}M\till T_{F(x)}N

En jämn karta kallas en jämn nedsänkning om skillnaden för någon punkt är injektiv .

F\colon M\to N

x\i M

d_{x}F\kolon T_{x}M\till T_{F(x)}N

Egenskaper

Sammansättningsskillnaden är lika med sammansättningen av differentialer: $d(F\circ G)=dF\circ dG$ eller $d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Exempel

Låt en jämn funktion ges i ett öppet set . Sedan , där betecknar derivatan av , och är den konstanta formen definierad av . $\Omega \subset \mathbb {R}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $df=f'\,dx$ $f'$ $f$ $dx$ $dx(V)=V$
Låt en jämn funktion ges i ett öppet set . Sedan . Formen kan bestämmas av relationen för vektorn . $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}\,dx_{i))$ $dx_i$ $dx_{i}(V)=v_{i}$ $V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$
Låt en jämn mappning ges i en öppen uppsättning . Sedan $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $d_{x}F(v)=J(x)v,$

var är den jakobiska matrisen för kartläggningen vid punkten .

J(x)

F

x

Se även

Koddifferential