Differentiella former inom elektromagnetism

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 december 2015; verifiering kräver 1 redigering .

Differentialformer inom elektromagnetism är en av de möjliga matematiska formuleringarna av klassisk elektrodynamik som använder differentialformer i fyrdimensionell rumtid.

Betrakta Faraday 2-formen som motsvarar den elektromagnetiska fälttensorn :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Denna form är krökningsformen för det triviala huvudknippet med strukturgrupp U(1) , genom vilket klassisk elektrodynamik och mätteori kan beskrivas . 3-formen av strömmen , dubbel till 4-vektorn av strömmen, har formen

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ kil {{\mathrm d}}x^{d}.

I denna notation kan Maxwells ekvationer skrivas mycket kompakt som

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={*{\textbf {J}}}

var är Hodge star-operatören . Geometrin för den allmänna spårviddsteorin kan beskrivas på liknande sätt. $*$

2-formen kallas även Maxwell 2-formen . $*{\mathbf {F}}$

Litteratur

Arnold V. I. Mathematical methods of classical mechanics, M .: Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5
Cartan A. Differentialkalkyl. differentiella former. M.: Mir, 1971
Bolibrukh A. A. Maxwells ekvationer och differentialformer , MTsNMO, 2002.

Se även

Dyadisk tensor _ _ _
Tvåelementstensor ( eng. Dyadisk tensor )
Tvåelements tensormultiplikation ( eng. Dyadisk produkt )
Kvaternion
Extern algebra