Konfidensintervall för normal provvarians

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 juni 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

Känt genomsnittligt fall

Låta vara ett oberoende urval från en normalfördelning , där är det kända medelvärdet . Låt oss definiera ett godtyckligt och bygga - ett konfidensintervall för en okänd varians . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\alfa \in[0,1]$ $\alfa$ $\sigma ^{2}$

Påstående. Slumpmässigt värde

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

har en distribution . Låt — vara kvantilen för denna fördelning . Då har vi: $\chi ^{2}(n)$ $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha

Efter att ha ersatt uttrycket med enkla algebraiska transformationer får vi: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\ frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i }-\mu )^{2)){\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\right)=1-\alpha

Fallet med det okända medelvärdet

Låta vara ett oberoende urval från en normalfördelning, där och är okända konstanter. Låt oss bygga ett konfidensintervall för den okända variansen . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\sigma ^{2}$

Fishers sats för normala prover . Slumpmässigt värde

H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}

var är den opartiska urvalsvariansen , har en fördelning . Då har vi: $S^{2}$ $\chi ^{2}(n-1)$

\mathbb {P} \left(\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac { \alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=1-\alpha

Efter att ha ersatt uttrycket med enkla algebraiska transformationer får vi: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^ {2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2)){\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1 }^{2}}}\right)=1-\alpha

Länkar

http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htm _