Integralkalkyl

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Integralkalkyl är en del av matematisk analys som studerar integralen , dess egenskaper och beräkningsmetoder [1] .

Längder, ytor och volymer

I arbetet av Arkimedes "Om mätning av en cirkels omkrets" övervägs frågan om att bestämma arean och omkretsen av en cirkel, och i avhandlingen " Om bollen och cylindern " - på kropparnas ytor och volymer begränsas av krökta ytor; dessa frågor representerar de första geometriska problemen relaterade till kalkyl. Och för närvarande är huvuduppgiften för kalkyl att hitta områdena för kurvlinjära figurer. Arean av en krökt figur (fig. 1) betyder gränsen till vilken arean av en polygon inskriven i figuren tenderar när antalet sidor ökar, och dessa sidor kan göras mindre än någon förutbestämd godtyckligt liten siffra. $S$

Huvudidén med att beräkna arean av godtyckliga geometriska former är som följer. Först, hur man beräknar arean av en rektangel, det vill säga hur man bevisar att dess yta är produkten av längd och bredd. Om vi pratar om geometri, där alla konstruktioner måste göras med hjälp av en kompass och linjal , så är förhållandet mellan längd och bredd i en sådan geometri ett rationellt tal (se Pogorelovs lärobok), det vill säga om längden tas som en enhet, då kan bredden uttryckas som en bråkdel , där och är naturliga tal . För en sådan rektangel kan du välja en sådan "enkel kvadrat" som helt täcker en sådan rektangel. Sidan "enkla kvadraten" kan väljas som d = gcd( m , n ) , där är ett naturligt tal. Till exempel, om vi har en rektangel som är 10 cm lång och 14 cm bred, kan en sådan rektangel byggas med en kompass och en linjal (om längden tas som enheter blir dess bredd 14/10 = 7/5) . Som en sida av den "enkla kvadraten" kan du ta d \u003d GCD (14, 10) \u003d 2 cm . Denna kvadrat kommer att passa 5 gånger på längden och 7 på bredden, totalt behöver du 5 × 7 = 35 sådana "enkla rutor". Du kan ta rutor med en sida på 1 cm. Denna ruta kommer att passa 10 gånger på längden och 14 gånger på bredden, totalt behöver du 10 × 14 = 140 sådana "enkla rutor". Av denna konstruktion framgår att dimensionen (se) inte spelar någon väsentlig roll i en sådan konstruktion. $m/n$ $m$ $n$ $d$

Arean av en rätvinklig triangel kan beräknas om du märker att om du sätter exakt samma triangel bredvid den får du en rektangel. Eftersom vi fördubblade arean av triangeln, är arean av triangeln halva arean av rektangeln. Arean av ett parallellogram bestäms på ett liknande, något mer komplext sätt, genom områdena av en rektangel och en triangel. Arean av polygoner bestäms med hjälp av arean av trianglar.

Hur bestämmer man arean för en godtycklig kurva? Till exempel en kurva som är en kontinuerlig funktion som begränsas av räta linjer och ? $x=a$ $x=b$

Om du försöker bryta en sådan figur i "enkla rutor", kommer det att finnas ofyllda "hål" (som i fallet med rektanglar med sidor vars förhållande inte är lika med ett rationellt tal). I det här fallet försöker de göra två beläggningar: med rektanglar "uppifrån" och "underifrån", det vill säga att bygga rektanglar på ett sådant sätt att de inkluderar grafen för funktionen eller inte. Här är det väsentligt hur exakt vi ska dela upp i rektanglar (se nedan). Den andra punkten är att om vi tar mindre och mindre partitioner, så måste täckningsområdet "uppifrån" och täckningsområdet "underifrån" konvergera och konvergera till något ändligt värde. Den tredje punkten är att det "översta" täckningsområdet och det "botten" täckningsområdet måste konvergera till samma nummer.

Låt oss återgå till metoden för att partitionera i rektanglar. Det finns minst två vanliga sätt.

Riemann formaliserade konceptet med en integral, utvecklat av Newton och Leibniz , som arean av en subgraf (figuren som är innesluten mellan grafen för en funktion och x-axeln ) . För att göra detta övervägde han figurer som består av flera vertikala rektanglar och erhållna genom att dela ett segment (se figur). Om, när partitionen är "förfinad", det finns en gräns till vilken areorna för sådana siffror (integralsummor) konvergerar, kallas denna gräns Riemann-integralen för funktionen på segmentet. Se Riemann integral för detaljer .

Tanken med att konstruera Lebesgue-integralen är att istället för att dela in integrandens definitionsdomän i delar och sedan sammanställa integralsumman från funktionens värden på dessa delar, delas dess värdedomän in i intervall, och sedan summeras måtten på de omvända bilderna av dessa intervall med motsvarande vikter.

Låt oss återgå till definitionen av Riemann-integralen.

Det angivna problemet löses med hjälp av integralkalkyl, om figurens kurvlinjära kontur ges av en ekvation, som man gör inom analytisk geometri (se Analytisk geometri och Differentialkalkyl ). Låt ekvationen för den givna kurvan (fig. 2) vara . $S$ $S$ $y=f(x)$

Låt oss bestämma arean som bildas av segmentet av -s- axeln , två ordinator och och en båge av kurvan . Det är uppenbart att att hitta arean för vilken kurvlinjär figur som helst kan reduceras till att hitta områden av detta slag (det vill säga begränsat till tre raka linjer och en båge av kurvan). Låt oss rita mellan yttersta ordinaterna och ordinaterna , ..., motsvarande divisionspunkterna , ... av segmentet av axeln . Vi väljer dessa punkter godtyckligt, med den enda begränsningen att när antalet ökar är det största av segmenten oändligt litet (till exempel kan punkter ... väljas på lika avstånd från varandra). Förutsatt hur fan är det. 2 att ordinaterna för kurvan ökar hela tiden när man flyttar från till , är det lätt att se att figurens kurvlinjära yta kommer att ligga mellan följande två summor: $P_{0}M_{0}M_{n}P_{n}$ $x$ $P_{0}P_{n}$ $M_{0}P_{0}$ $M_{n}P_{n}$ $M_{0}M_{n}$ $S$ $M_{0}P_{0}$ $M_{n}P_{n}$ $n-1$ $M_{1}P_{1}$ $M_{2}P_{2}$ $P_1$ $P_2$ $P_{0}P_{n}$ $n$ $P_{1},P_{2}$ $M_{0}$ $M_{n}$ $S$

$S_{n}=f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+...+f(x_ {{n-1}})(x_{n}-x_{{n-1}})$

och $S'_{n}=f(x_{1})(x_{1}-x_{0})+f(x_{2})(x_{2}-x_{1})+...+f (x_{n})(x_{n}-x_{{n-1}})$

var , , , …, , $x_{0}=OP_{0}$ $x_{1}=OP_{1}$ $x_{2}=OP_{2}$ $x_{n}=OP_{n}$

a , , , …, . $f(x_{0})=M_{0}P_{0}$ $f(x_{1})=M_{1}P_{1}$ $f(x_{2})=M_{2}P_{2}$ $f(x_{n})=M_{n}P_{n}$

Se även

integralekvation
Integral tecken
Differentialkalkyl
En historisk skiss över integralkalkylens utveckling ges i artikeln Matematisk analys .

Anteckningar

↑ Integralkalkyl // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakiska uppslagsverk , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (ryska) (CC BY SA 3.0)

Litteratur

Vinogradov I. M. (red.) Mathematical Encyclopedia . - Volym 2. - M .: Soviet Encyclopedia , 1977.
Grave D. A. Integral calculus // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron italienska Litet Brockhaus och Efron Britannica (online) Treccani Moderna Ukraina
I bibliografiska kataloger	GND : 4027232-1 J9U : 987007293763805171 LCCN : sh85018804 NKC : ph121134