Intuitionism

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 november 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Intuitionism  är en uppsättning filosofiska och matematiska åsikter som tar hänsyn till matematiska bedömningar från synvinkeln "intuitiv övertalningsförmåga". Det finns två tolkningar av intuitionism: intuitiv övertalningsförmåga, som inte är relaterad till frågan om objekts existens, och visuell mental övertalningsförmåga.

I den intuitionistiska matematiken förkastas den klassiska mängdlärans synsätt (i synnerhet accepteras inte valets axiom och regelbundenhet ) och ett antal resonemang inom klassisk logik. Abstraktionen av potentiell genomförbarhet , som används i intuitionistisk matematik, motsvarar bättre verkligheten än abstraktionen av faktisk oändlighet .

Historisk översikt

Kritik av mängdteorin ledde till uppkomsten av två strömningar: Leutzen Egbert Jan Brouwers intuitionism, David Hilberts formalism och Gottlob Freges , Bertrand Russells , Alfred North Whiteheads logicism . År 1904 utsattes Brouwer för omfattande kritik av ett antal begrepp inom klassisk matematik. Hans uppmärksamhet uppmärksammades på existensens status: är det möjligt att potentiellt konstruera sådana studieobjekt som en omätbar uppsättning reella tal , en funktion som inte kan differentieras någonstans? Är det möjligt att tro att det i omvärlden finns oändliga uppsättningar av objekt [1] ?

Intuitionistisk matematik i tolkningen av Brouwer är övertalningsförmågan hos mentala konstruktioner, inte kopplad till frågan om objektens existens. En annan tolkning är "den visuella mentala övertalningsförmågan hos verklighetens enklaste konstruktiva processer." Brouwer invände mot formaliseringen av intuitionismen [1] .

Arend Heyting formulerade den intuitionistiska predikatkalkylen och den intuitionistiska räkneräkningen, den topologiska tolkningen upptäcktes av Alfred Tarski , och  tolkningen i form av en problemkalkyl av Andrey Nikolaevich Kolmogorov . Förståelse i form av rekursiv realiserbarhet föreslogs av Stephen Cole Kleene och stöddes av Andrey Andreevich Markovs vetenskapliga skola . På 70-talet av XX-talet fullbordades konstruktionen av teorin om fritt tillblivande sekvenser [1] .

Intuitionistisk logik

I intuitionistisk matematik anses en proposition endast vara sann om den kan bevisas genom något "tankeexperiment". Det vill säga sanningen i påståendet "Det finns ett objekt x för vilket påståendet A(x) är sant " bevisas genom att konstruera ett sådant objekt, och sanningen i påståendet " A eller B " bevisas antingen genom att bevisa sanningen i påstående A eller genom att bevisa sanningen i påstående B. Av detta, i synnerhet, följer att påståendet " A eller inte A " kanske inte är sant, och lagen om den uteslutna mitten är oacceptabel. En sann matematisk proposition är en serie konstruktioner av en effektiv karaktär gjorda med användning av intuitionistisk logik. Effektivitet är inte nödvändigtvis relaterat till närvaron av en algoritm och kan bero på fysiska och historiska faktorer, faktisk problemlösning [1] .

De huvudsakliga studieobjekten i intuitionistisk matematik är konstruktiva objekt : naturliga och rationella tal , ändliga uppsättningar av konstruktiva objekt med en lista av element, fritt tillblivande sekvenser (valbara sekvenser, varav varje medlem kan nås effektivt), intuitionistiska typer (egenskaper) som studieobjekt kan ha). Fristående sekvenser särskiljs beroende på graden av information som forskaren känner till. Om lagen för bildandet av sekvensen är känd helt, då kallas den given av lagen, om bara det initiala segmentet är känt - laglöst. Vyer är inbyggda i en hierarki där elementen i en vy definieras oberoende av själva vyn, vilket undviker antinomier . Arter är sällan föremål för studier, de flesta av resultaten av intuitionistisk matematik kan erhållas utan att använda dem [1] .

Intuitionism och andra matematiska tillvägagångssätt

I behandlingen av mängdlära görs ingen skillnad mellan abstrakta objekt och objekt vars existens kan bekräftas genom konstruktion. I klassisk matematik extrapolerades egenskaper och lagar för finita samlingar till oändliga mängder. Samtidigt finns det inget sätt att effektivt konstruera objekt, vilket återspeglas i de så kallade "theorems of pure existens". Frånvaron av möjligheten till konstruktion har inget samband med mängdlärans antinomier och gäller alla grenar av matematiken [1] .

Begreppen formalism och intuitionism hade ett betydande inflytande på varandra . Metamatematikens materiella kriterier, som är nödvändiga för att underbygga konsistensen av formella teorier, förfinas vanligtvis inom intuitionismens ram. Samtidigt erhölls ett antal resultat av intuitionistisk logik genom att formalisera metoden [1] .

I en bred tolkning kan matematikens konstruktiva riktning betraktas som en del av intuitionistisk matematik [1] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Vinogradov I. M. Intuitionism // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 2.

Litteratur

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger