Karatsuba, Anatoly Alekseevich

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Karatsuba Anatoly Alekseevich

Födelsedatum

31 januari 1937

Födelseort

Groznyj

Dödsdatum

28 september 2008 (71 år)

En plats för döden

Moskva , Ryssland

Land

Sovjetunionen , Ryssland

Vetenskaplig sfär

matte

Arbetsplats

MIAN , Moscow State University

Alma mater

Moscow State University (Mekhmat)

Akademisk examen

Doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper

vetenskaplig rådgivare

Korobov N.M.

Studenter

Voronin S.M. , Chubarikov V.N. ,

Arkhipov G.I.

Utmärkelser och priser

Pris till dem. P. L. Chebyshev Science Academy of the USSR

Pris till dem. I. M. Vinogradov RAS

Mediafiler på Wikimedia Commons

Anatoly Alekseevich Karatsuba (31 januari 1937 , Groznyj - 28 september 2008 , Moskva) - sovjetisk och rysk matematiker . Skapare av den första snabba metoden i matematikens historia - metoden att multiplicera stora tal [1] [2] ( Karatsuba multiplikation ).

Studera och arbeta

Anatoly Karatsuba studerade 1944-1954 på gymnasieskolan nr 6 i staden Groznyj och tog examen med en silvermedalj. Redan under sina tidiga år visade han exceptionella förmågor för matematik och löste problem i de lägre årskurserna som gavs till gymnasieelever i en matematisk cirkel.

1959 tog han examen från fakulteten för mekanik och matematik vid Moscow State University. Lomonosov . 1962 blev han kandidat för fysiska och matematiska vetenskaper med en avhandling "Rationella trigonometriska summor av en speciell form och deras tillämpningar" (handledare - N. M. Korobov ), och började arbeta vid fakulteten vid Moskvas statliga universitet. 1966 disputerade han på sin doktorsavhandling "Method of trigonometric sums and mean value theorems" och blev forskare vid Mathematical Institute of the USSR Academy of Sciences (MIAN).

Sedan 1983 har han varit en ledande specialist inom området talteori i Sovjetunionen och Ryssland, och chef för avdelningen för talteori (inrättad 1983 ) vid Moskvas prestationsinstitut, professor vid avdelningen för talteori i Moskva. State University sedan 1970 och professor vid Institutionen för matematisk analys av Moscow State University (etablerat 1962 ) sedan 1980 . Hans forskningsintressen inkluderade trigonometriska summor och integraler , Riemann zeta-funktionen , Dirichlet-tecken , tillståndsmaskin , effektiva algoritmer .

A.A. Karatsuba handlede 15 doktorander; sju av dem blev senare vetenskapsläkare. Han har statliga utmärkelser och titlar.

Utmärkelser och titlar

1981 : P. L. Chebyshev-priset från USSR:s vetenskapsakademi
4 juni 1999 : Hedrad forskare från Ryska federationen
2001 : I. M. Vinogradov-priset från Ryska vetenskapsakademin

Tidigt arbete inom datavetenskap

Som student vid Moscow State University. Lomonosov, A. A. Karatsuba deltog i arbetet med A. N. Kolmogorovs seminarium och hittade lösningar på två problem som Kolmogorov ställde, vilket gav impulser till utvecklingen av automatteorin och markerade början på en ny riktning inom matematiken - teorin om snabba algoritmer .

Automatisera

I Edward Moores artikel "Speculative Experiments on Sequential Machines" [3] definieras en automat (eller maskin) som en enhet som har tillstånd, ingångssymboler och utgångssymboler. Vi bevisar nio satser om strukturen och experiment med . Sådana maskiner blev senare kända som Moore automata . I slutet av artikeln, i kapitlet "Nya problem", formulerar Moore problemet med att förbättra uppskattningarna som erhållits av honom i satserna 8 och 9: $(n;m;p)$ $S$ $n$ $m$ $sid$ $S$ $S$ $S$

Sats 8 (Moore). Låt en godtycklig maskin ges , så att vartannat tillstånd kan särskiljas från varandra, då finns det ett experiment av längd som anger (finner) tillståndet i slutet av detta experiment.

(n;m;p)

S

n(n-1)/2

S

År 1957 bevisade Karatsuba två satser som helt löste Moores problem med att förbättra uppskattningen av längden på ett experiment i hans sats 8 .

Sats A (Karatsuba). Om det finns en maskin vars två tillstånd är särskiljbara från varandra, så finns det ett förgrenat experiment med längd högst , med hjälp av vilket det är möjligt att fastställa (hitta) tillståndet i slutet av experimentet.

S

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

S

Sats B (Karatsuba). Det finns en maskin vars två tillstånd är ömsesidigt särskiljbara, så att längden på det kortaste experimentet som fastställer maskinens tillstånd i slutet av experimentet är .

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

Dessa två satser utgjorde grunden för Karatsubas terminsuppsats för fjärde året "On a Problem in the Theory of Automata", som belönades med en berömvärd recension (det vill säga inte särskilt hög) vid tävlingen av studentarbeten vid fakulteten för mekanik och matematik vid Moscow State University. Lomonosov 1958 . Artikeln skickades av Karatsuba till Uspekhi matematicheskikh nauk i december 1958 och publicerades först i juni 1960 [4] . Men hittills är detta resultat av Karatsuba, som senare blev känt som Moore–Karatsuba-satsen, det enda exakta (den enda exakta icke-linjära utvärderingsordningen) icke-linjära resultatet både i automatteorin och i liknande problem i teorin av beräkningskomplexitet. [ett]

Snabba algoritmer

Snabba algoritmer är en gren av beräkningsmatematiken som studerar algoritmer för att beräkna en given funktion med en given noggrannhet med hjälp av så få bitoperationer som möjligt. Vi kommer att anta att talen skrivs i det binära talsystemet, vars tecken 0 och 1 kallas bitar . En bits operation definieras som att skriva tecknen 0, 1, plus, minus, parentes; addition, subtraktion och multiplikation av två bitar. De första formuleringarna av problem om bitkomplexiteten i beräkningar tillhör A. N. Kolmogorov . Multiplikationskomplexitet definieras som antalet bitoperationer som är tillräckligt för att beräkna produkten av tvåsiffriga tal med denna algoritm. $M(n)$ $n$

Multiplicerar två n -siffriga tal på vanligt skolsätt "i en kolumn", har vi en övre gräns . År 1956 antog A. N. Kolmogorov att den nedre gränsen för en multiplikationsmetod också är ett ordningsvärde , det vill säga det är omöjligt att beräkna produkten av två n -siffriga tal snabbare än i operationer (den så kallade "hypotesen "). Hypotesens rimlighet indikerades av det faktum att under hela tiden för matematikens existens, vid den tiden, hade människor multiplicerat med ordningskomplexitet , och om det hade funnits en snabbare multiplikationsmetod, skulle det förmodligen redan ha varit hittades. $M(n)=O(n^{2})$ $M(n)$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $O(n^{2})$

1960 , vid fakulteten för mekanik och matematik vid Moscow State University, började ett seminarium om matematiska frågor om kybernetik att arbeta under ledning av A. N. Kolmogorov, där en "hypotes " formulerades och ett antal problem ställdes för att bedöma komplexiteten andra liknande beräkningar. Anatoly Karatsuba, i hopp om att få en nedre gräns för , hittade en ny metod för att multiplicera två n -siffriga tal, nu känd som Karatsuba-multiplikationen , med en komplexitetsuppskattning $n^{2}$ $M(n)$

M(n)=O(n^{{\log _{2}3)))=O(n^{{1.58496\ldots }}),

och därigenom motbevisa hypotesen $n^{2}$ , som han rapporterade till Kolmogorov efter nästa möte på seminariet. Vid nästa möte av seminariet beskrevs denna metod av Kolmogorov själv, och seminariet upphörde med sitt arbete. [5] Den första artikeln som beskrev Karatsuba-förökning utarbetades av Kolmogorov själv, där han presenterade två olika och orelaterade resultat från två av sina elever. [6] Även om Kolmogorov i artikeln tydligt noterade att en sats (ej relaterad till snabb multiplikation) berodde på Yu. Ofman, och en annan sats (med den första snabba multiplikationen någonsin) berodde på A. Karatsube, denna publikation av två författare förvirrade läsare under lång tid , som trodde att båda författarna bidrog till skapandet av den snabba multiplikationsmetoden, och till och med kallade denna metod med två namn. Karatsuba-metoden generaliserades sedan till divide and conquer -paradigmet , andra viktiga exempel på detta är binära partitioneringsmetodensökning , bisektionsmetoden , etc.

Därefter, på grundval av denna idé av A. Karatsuba [5] [7] [8] , byggdes många snabba algoritmer, varav de mest kända är dess direkta generaliseringar, såsom multiplikationsmetoden Schoenhage-Strassen [9] , Strassen-matrismultiplikationsmetoden [10] och den snabba Fouriertransformen .

Den franske matematikern och filosofen Jean-Paul Delaye kallade [11] Karatsubas multiplikationsmetod för "ett av matematikens mest användbara resultat".

Algoritmen för Anatoly Karatsuba är implementerad i nästan alla moderna datorer, inte bara på mjukvarunivå utan också på hårdvarunivå.

Grundläggande forskning

I sin artikel "Om professor Karatsubas matematiska arbete" [12] , tillägnad 60-årsdagen av A. A. Karatsuba, beskriver hans elever G. I. Arkhipov och V. N. Chubarikov egenskaperna hos A. A. Karatsubas vetenskapliga arbete enligt följande:

När man presenterar verk av anmärkningsvärda vetenskapsmän är det naturligt att peka ut några karakteristiska och slående drag i deras arbete. Sådana utmärkande drag i professor Karatsubas vetenskapliga verksamhet är kombinatorisk uppfinningsrikedom, grundlighet och en viss fullständighet av resultaten.

Huvudstudierna av A. A. Karatsuba publiceras i mer än 160 vetenskapliga artiklar och monografier. [13] [14] [15] [16]

Trigonometriska summor och trigonometriska integraler

p -adic metod

A. A. Karatsuba konstruerade en ny -adic-metod i teorin om trigonometriska summor. De av honom erhållna uppskattningarna för blankettens s. k . -summor $sid$ $L$

S=\summa _{{x=1}}^{P}e^{{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p )}},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,

ledde till nya gränser för noll -Dirichlet-serien modulo lika med potensen av ett primtal, till härledningen av en asymptotisk formel för Warings jämförelsetal för formen $L$

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},

lösa problemet med fördelningen av bråkdelar av ett polynom med heltalskoefficienter modulo . A. A. Karatsuba var den första som implementerade [18] Euler-Vinogradovs "inbäddningsprincip" i -adic-formen och konstruerade en -adic-analog av - Vinogradov-talen när man uppskattade antalet lösningar för en jämförelse av Waring-typ. $p^{k}$ $sid$ $sid$ $u$

Låta

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)

och

P^{r}\leq Q<P^{{r+1)),\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12)){\sqrt {n)),\quad Q=p ^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,

var är ett primtal. A. A. Karatsuba bevisade att det i det här fallet för vilket naturligt tal som helst finns ett sådant att vilket naturligt tal som helst kan representeras i formen (1) för , och för det finns sådana att jämförelse (1) är oavgörlig. $sid$ $n\geq 144$ $p_{0}=p_{0}(n)$ $p_{0}>p_{0}(n)$ $N$ $t\geq 20r+1$ $t<r$ $N$

Detta nya tillvägagångssätt, hittat av A. A. Karatsuba, ledde till ett nytt -adiskt bevis på I. M. Vinogradovs medelvärdessats, som spelar en central roll i Vinogradovs metod för trigonometriska summor. $sid$

Ett annat element i A. A. Karatsubas -adic-metoden är övergången från ofullständiga ekvationssystem till kompletta på grund av den lokala -adiska förändringen av okända. [19] [20] $sid$ $sid$

Låta vara ett godtyckligt naturligt tal, , och låt heltal definieras av ojämlikheterna . Tänk på ekvationssystemet $r$ $1\leq r\leq n$ $t$ $m_{t}\leq r\leq m_{{t+1}}$

{\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}},\\\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{ s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}},\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^ {n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots < m_{s}<m_{{s+1}}=n.

A. A. Karatsuba bevisade att antalet lösningar av detta ekvationssystem för , uppfyller uppskattningen $jag_{k}$ $k\geq 6rn\log n$

I_{k}\ll P^{{2k-\delta }},\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.

För ofullständiga ekvationssystem där variablerna sträcker sig över tal med små primtalsdelare tillämpade A. A. Karatsuba en multiplikativ förskjutning av variabler. Detta ledde till en kvalitativt ny uppskattning av trigonometriska summor och en ny medelvärdessats för sådana ekvationssystem.

Hua Lo-kens problem om exponenten för konvergens av singularintegralen av Terry-problemet

$sid$ Den -adic-metoden av A. A. Karatsuba inkluderar metoder för att uppskatta måttet på en uppsättning punkter med små värden av funktioner i termer av värdena på deras parametrar (koefficienter, etc.) och, omvänt, uppskatta dessa parametrar i termer av av måttet på mängden i verkliga och -adiska mått. Denna sida av metoden för A. A. Karatsuba manifesterades särskilt tydligt i utvärderingen av trigonometriska integraler, vilket ledde till lösningen av problemet med Hua Lo-ken . År 1979 löste A. A. Karatsuba, tillsammans med sina elever G. I. Arkhipov och V. N. Chubarikov [21] problemet med Hua Lo-ken, som ställdes 1937 , vilket bestod i att bestämma integralens konvergensindex: $sid$

\vartheta _{0}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}{ \biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{{n}}x^{{n}}+\cdots +\alpha _{{1}}x)}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}\ldots d\alpha _{{1}},

var är ett fast nummer. $n\geq 2$

I det här fallet är konvergensindexet ett sådant värde som konvergerar vid och divergerar vid , där det är godtyckligt litet. Det visade sig att integralen konvergerar vid och divergerar vid . $\gamma$ $\vartheta _{0}$ $2k>\gamma +\varepsilon$ $2k<\gamma -\varepsilon$ $\varepsilon >0$ $\vartheta _{{0}}$ $2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$ $2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$

Samtidigt löstes ett liknande problem för integralen

\vartheta _{1}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\biggl |} \int _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots + \alpha _{r}x^{r))}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}d\alpha _{{m}}\ldots d\alpha _ {{r}},

var är heltal som uppfyller villkoren $n,m,\ldots ,r$

1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

A. A. Karatsuba och hans elever fann att integralen konvergerar om och divergerar om . $\vartheta _{1}$ $2k>n+m+\ldots+r$ $2k\leq n+m+\ldots+r$

Integraler och uppstår vid lösning av det så kallade Terry - problemet (Terry-Escott-problemet). A. A. Karatsuba och hans elever fick ett antal nya resultat relaterade till den flerdimensionella analogen av Terrys problem. I synnerhet fastställde de att if är ett polynom i variabler ( ) av formen $\vartheta _{0}$ $\vartheta _{1}$ $F$ $r$ $r\geq 2$

F(x_{{1}},\ldots ,x_{{r}})\,=\,\sum \limits _{{\nu _{{1}}=0}}^{{n_{{1 }}}}\cdots \sum \limits _{{\nu _{{r}}=0}}^{{n_{{r}}}}\alpha (\nu _{{1}}),\ ldots ,\nu _{{r)))x_{{1}}^{{\nu _{{1}}}}\ldots x_{{r}}^{{\nu _{{r}}} } ,

med noll fri koefficient, , är en dimensionell vektor som består av koefficienter , då integralen $m=(n_{{1}}+1)\ldots (n_{{r}}+1)-1$ ${\bar {\alpha }}$ $m$ $F$

\vartheta _{{2}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty } }{\biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}\cdots \int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi iF(x_ {{1)),\ldots ,x_{{r))))}}dx_{{1}}\ldots dx_{{r}}{\biggr |}^{{2k}}d{\bar {\ alfa }}

konvergerar för , där är det största av talen . Detta resultat, även om det inte är slutgiltigt, gav upphov till en ny riktning i teorin om trigonometriska integraler, kopplat till förfiningen av gränserna för konvergensindex (I. A. Ikromov, M. A. Chakhkiev och andra). $2k>mn$ $n$ $n_{1},\ldots ,n_{r}$ $\vartheta _{2}$

Flera trigonometriska summor

1966-1980 skapade A. A. Karatsuba [22] [23] [14] (med deltagande av sina elever G. I. Arkhipov och V. N. Chubarikov) teorin om multipla trigonometriska summor av H. Weyl , det vill säga summor av formen

S=S(A)=\summa _{{x_{1}=1}}^{{P_{1}}}\dots \summa _{{x_{r}=1}}^{{P_{r }}}e^{{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}

var , $F(x_{1},\dots ,x_{r})=\summa _{{t_{1}=1}}^{{n_{1}}}\dots \summa _{{t_{r}= 1}}^{{n_{r}}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{{t_{1}}}\dots x_{r}^{{ t_{r}}}$

$A$ är en uppsättning reella koefficienter . Den centrala punkten i denna teori, liksom teorin om trigonometriska summor av I. M. Vinogradov, är följande medelvärdessats . $\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})$

Låta vara naturliga tal, , . Låt vidare vara en dimensionell kub i formens euklidiska utrymme

n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}

P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})

m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)

\Omega

m

0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1

... _

0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}

och

J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int } }|S(A)|^{{2K}}dA

. Sedan för varje och kvantiteten uppfyller uppskattningen

\tau \geq 0

K\geq K_{{\tau }}=m\tau

J

J\leq K_{{\tau }}^{{2m\tau }}\varkappa ^{{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}}2^{{8m\varkappa \tau }}( P_{1}\dots P_{r})^{{2K}}P^{{-\varkappa \Delta (\tau )}}

, där , , , och naturliga tal är sådana att:

\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}

\gamma \varkappa =1

\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{{\tau }})

P=(P_{1}^{{n_{1}}}\dots P_{r}^{{n_{r}}})^{{\gamma }}

\nu _{1},\dots ,\nu _{r}

-1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0

, .

s=1,\dots ,r

Medelvärdessatsen och lemmat om multipliciteten av skärningspunkten för flerdimensionella parallellepipeder ligger till grund för uppskattningen av en multipel trigonometrisk summa erhållen av A. A. Karatsuba (det tvådimensionella fallet erhölls av G. I. Arkhipov [24] ). Om vi betecknar med den minsta gemensamma multipeln av tal med villkoret , då för , har vi uppskattningen $Q_0$ $q(t_{1},\dots ,t_{r})$ $t_{1}+\dots t_{r}\geq 1$ $Q_{0}\geq P^{{1/6}}$

|S(A)|\leq (5n^{{2n}})^{{r\nu (Q_{0})}}(\tau (Q_{0}))^{{r-1}}P_ {1}\dots P_{r}Q^{{-0.1\mu }}+2^{{8r}}(r\mu ^{{-1}})^{{r-1}}P_{1 }\dots P_{r}P^{{-0.05\mu }}

där är antalet divisorer av talet och är antalet olika primtalsdelare av talet . $\tau (Q)$ $F$ $\nu (Q)$ $F$

En uppskattning för Hardy-funktionen i Warings problem

Genom att tillämpa -adic-formen av den cirkulära metoden Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov konstruerad av honom på skattningar av trigonometriska summor där summeringen utförs över tal med små primtalsdelare, fick A. A. Karatsuba [25] en ny uppskattning för brunnen -känd Hardy -funktion i Waring-problemet (för ): $sid$ $G(n)$ $n\geq 400$

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.

En flerdimensionell analog av Warings problem

I sina fortsatta studier av Waring-problemet erhöll A. A. Karatsuba [26] [27] följande tvådimensionella generalisering av detta problem:

Tänk på ekvationssystemet

x_{1}^{{ni}}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{{ni}}y_{k}^{i}=N_{i}

... _

i=0,1,\prickar ,n

där ges positiva heltal med samma tillväxtordning, , och är okända, men också positiva heltal. Detta system är lösbart om , och om , då det finns sådana att systemet inte har några lösningar. $N_{i}$ $N_{0}\till +\infty$ $x_{{\varkappa }},y_{{\varkappa }}$ $k>cn^{2}\log n$ $k<c_{1}n^{2}$ $N_{i}$

Artins problem med den lokala representationen av noll med formen

I studier av Artins problem med den -adiska representationen av noll med en form av godtycklig grad, visade resultaten av A. A. Karatsuba att istället för den tidigare antagna maktlagen ökade antalet variabler för en icke-trivial representation av noll av en form bör detta antal variabler växa nästan exponentiellt beroende på graden. A. A. Karatsuba tillsammans med sin elev G. I. Arkhipov bevisade [28] att det för alla naturliga tal existerar så att det för alla finns en form av grad mindre än , med heltalskoefficienter, vars antal variabler är , , $sid$ $r$ $n_{0}=n_{0}(r)$ $n\geq n_{0}$ $F(x_{1},\dots ,x_{k})$ $n$ $k$ $k\geq 2^{u}$

u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _ {2}n)}_{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}}_{{r+1}}}}

och har endast en trivial representation av noll i 2-adiska tal, och erhåller också ett liknande resultat för en godtycklig udda primtalsmodul . $sid$

Uppskattningar för korta Kloosterman summor

A. A. Karatsuba skapade [29] [30] [31] (1993-1999) en ny metod för att uppskatta korta Kloosterman-summor , det vill säga trigonometriska summor av formen

\sum \limits _{{n\in A}}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr )} },

där går genom en uppsättning med primtal med , antalet element i vilka är betydligt mindre än , och symbolen anger resten invers till modulo : . $n$ $A$ $m$ $\|A\|$ $m$ $n^{{*}}$ $n$ $m$ $nn^{{*}}\ekvivalent 1(\mod m)$

Fram till början av 1990-talet. uppskattningar av denna typ var kända främst för summor där antalet termer överskred ( G. D. Kloosterman , I. M. Vinogradov , G. Salie, L. Karlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). Undantaget var speciella moduler av formen , där är ett fast primtal, och exponenten ökar på obestämd tid (det här fallet studerades av A. G. Postnikov med metoden av I. M. Vinogradov ). Karatsubas metod gör det möjligt att uppskatta Kloosterman-summor vars antal termer inte överstiger , och i vissa fall även , där är ett godtyckligt litet fast antal. Den sista artikeln av A. A. Karatsuba om detta ämne [32] publicerades efter hans död. ${\sqrt {m))$ $m=p^{{\alpha ))$ $sid$ $\alfa$ $m^{{\varepsilon }}$ $\exp {\{(\ln m)^{{2/3+\varepsilon }}\}}$ $\varepsilon >0$

Olika aspekter av metoden för A. A. Karatsuba har funnit tillämpning för att lösa följande problem med analytisk talteori:

hitta asymptotik för summor av bråkdelar av formen ${\sum _{{n\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{ {p\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{{*}}+bp}{m}}{\biggr \}},$

där går genom på varandra följande heltal med villkoret , och går genom primtal som inte delar modulen (A. A. Karatsuba);

n

(n,m)=1

sid

m

hitta en nedre gräns för antalet lösningar av formens ojämlikheter $\alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta$

i heltal , , samprima med , (A. A. Karatsuba);

n

1\leq n\leq x

m

x<{\sqrt {m))

noggrannheten för approximationen av ett godtyckligt reellt tal från ett segment med bråkdelar av formen $[0,1]$ ${\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},$

där , , (A.A. Karatsuba);

1\leq n\leq x

(n,m)=1

x<{\sqrt {m))

förfining av konstanten i Brun-Titchmarsh-ojämlikheten $c$ $\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q)))),$

där är antalet primtal som inte överstiger och tillhör en aritmetisk progression ( J. Friedlander , G. Ivanets );

\pi (x;q,l)

sid

x

p\equiv l{\pmod {q}}

nedre gräns för den största primtallaren av en produkt av tal i formen: $n^{{3}}+2$ , ( D.R. Heath-Brown ); $N<n\leq 2N$

bevis på formens oändlighet av primtal ( J. Friedlander , G. Ivanets ); $a^{{2}}+b^{{4}}$

kombinatoriska egenskaper hos en uppsättning tal , (A. A. Glibichuk). $n^{{*}}{\pmod {m}}$ $1\leq n\leq m^{{\varepsilon }}$

Riemann zeta-funktion

A. Selbergs hypotes

År 1984 fastställde A. A. Karatsuba [33] [34] [35] att för en fast med villkor , tillräckligt stor och , , innehåller intervallet åtminstone reella nollor av Riemanns zeta-funktion . $\varepsilon$ $0<\varepsilon<0,001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $CH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$

Detta påstående gjordes 1942 som en gissning av A. Selberg [36] , som själv bevisade dess giltighet för fallet . Uppskattningarna av A. Selberg och A. A. Karatsuba är oförbättrbara i tillväxtordning för . $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$ $T\till +\infty$

Fördelning av nollor för Riemann zeta-funktionen på korta segment av den kritiska linjen

A. A. Karatsuba bidrog också med ett antal resultat om fördelningen av nollor på "korta" intervaller av den kritiska linjen [37] . Han bevisade att en analog av Selbergs gissning är giltig för "nästan alla" intervaller , där är ett godtyckligt litet fast positivt tal. A. A. Karatsuba utvecklade (1992) ett nytt tillvägagångssätt för att studera nollorna i Riemann zeta-funktionen på "ultra-korta" intervall av den kritiska linjen, det vill säga på intervall vars längd växer långsammare än någon, till och med godtyckligt liten, grad . I synnerhet bevisade han att för alla givna nummer , med villkoret, innehåller nästan alla intervaller åtminstone nollor av funktionen . Denna uppskattning ligger mycket nära den som följer av Riemanns hypotes . $\zeta (s)$ $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon }}$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Nollor av linjära kombinationer av Dirichlet el-serien

A. A. Karatsuba skapade en ny metod [38] [39] [40] för att studera nollorna av funktioner representerade som linjära kombinationer av Dirichlet-serien . Det enklaste exemplet på en funktion av detta slag är Davenport - Heilbronn- funktionen , definierad av jämlikheten $L$

f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi )))

där är ett icke-huvudtecken modulo ( , , , , , för någon ), $\chi$ $5$ $\chi(1)=1$ $\chi (2)=i$ $\chi (3)=-i$ $\chi(4)=-1$ $\chi(5)=0$ $\chi (n+5)=\chi (n)$ $n$

\kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.

För Riemann-hypotesen är felaktig, men den kritiska linjen innehåller ändå onormalt många nollor. $f(s)$ $Re\ s={\tfrac {1}{2}}$

A. A. Karatsuba fastställde (1989) att intervallet , , innehåller minst $(T,T+H]$ $H=T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/2}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

funktion nollor . Liknande resultat erhölls också av A. A. Karatsuba för linjära kombinationer innehållande ett godtyckligt (ändligt) antal termer; exponenten ersätts med ett mindre tal beroende bara på typen av linjär kombination. $f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ ${\tfrac {1}{2))$ $\beta$

Zetafunktionens nollgräns och det flerdimensionella Dirichlet-divisorproblemet

A. A. Karatsuba kom med ett fundamentalt nytt resultat [41] i det flerdimensionella problemet med Dirichlet-delare, som är relaterat till att hitta lösningar på ojämlikheten i naturliga tal för . För det finns en asymptotisk formel för formen $x\till +\infty$ $D_{{k}}(x)$ $x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x$ $x_{{1}},\ldots ,x_{{k}}$ $D_{{k}}(x)$

D_{{k}}(x)=xP_{{k-1}}(\ln x)+R_{{k}}(x)

där är ett polynom av den e graden, vars koefficienter beror på och kan hittas explicit, och är en restterm, vars alla kända (före 1960) uppskattningar var av formen $P_{{k-1}}(u)$ $(k-1)$ $k$ $R_{{k}}(x)$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

var och är absoluta positiva konstanter. $\alpha ={\frac {1}{ak+b}}$ $a,b,c$

A. A. Karatsuba fick en mer exakt uppskattning , där värdet hade en storleksordning och minskade mycket långsammare än i tidigare uppskattningar. A. A. Karatsubas uppskattning är enhetlig i och ; i synnerhet kan magnituden växa när den växer (som någon styrka av logaritmen ). (Ett liknande men svagare resultat erhölls 1960 av den tyske matematikern H. E. Richert, vars arbete förblev okänt för sovjetiska matematiker till åtminstone mitten av 1970-talet). $R_{{k}}(x)$ $\alfa (k)$ $k^{{-2/3}}$ $\alfa (k)$ $x$ $k$ $k$ $x$ $x$

Härledningen av uppskattningen är baserad på ett antal påståenden som i huvudsak är ekvivalenta med satsen på gränsen för nollor i Riemanns zeta-funktion erhållen med metoden av I. M. Vinogradov , det vill säga satsen om vad som inte har några nollor i regionen $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{{2/3}}(\ln \ln |t|)^{{1/3}}}},\ quad|t|>10

A. A. Karatsuba etablerade [42] [43] (2000) ett omvänt förhållande mellan uppskattningar av kvantiteter och beteende nära den räta linjen . I synnerhet bevisade han att om är en godtycklig icke-ökande funktion med villkoret , så att för hela uppskattningen $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$ $Re\s=1$ $\alfa (y)$ $1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2$ $k\geq 2$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

har då inga nollor i regionen $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-c_{{1))\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{ {2}}

( är absoluta konstanter). $c,c_{{1}}$

Nedre gränser för zetafunktionens maximala modul i små områden av det kritiska bandet och på små intervaller av den kritiska linjen

A. A. Karatsuba introducerade och studerade [44] [45] funktionerna och definierade av jämlikheterna $F(T;H)$ $G(s_{{0}};\Delta )$

F(T;H)=\max _{{|tT|\leq H}}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{ \bigr |},\quad G(s_{{0}};\Delta )=\max _{{|s-s_{{0}}|\leq \Delta }}|\zeta (s)|.

Här finns ett tillräckligt stort positivt tal, , , , . De nedre gränserna för och visar hur stora (i absoluta värden) värden kan ta på korta segment av den kritiska linjen eller i små områden med punkter som ligger i det kritiska bandet . Fallet hade undersökts tidigare av Ramachandra; fallet där är en tillräckligt stor konstant är trivialt. $T$ $0<H\ll \ln \ln T$ $s_{{0}}=\sigma _{{0}}+iT$ ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{{0}}\leq 1$ $0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}$ $F$ $G$ $\zeta (s)$ $0\leq Re\s\leq 1$ $H\gg \ln \ln T$ $\Delta >c$ $c$

A. A. Karatsuba visade i synnerhet att om kvantiteterna och överstiger några tillräckligt små konstanter, då uppskattningarna $H$ $\Delta$

F(T;H)\geq T^{{-c_{{1}}}},\quad G(s_{{0}};\Delta )\geq T^{{-c_{{2}}} },

var finns några absoluta konstanter. $c_{{1}},c_{{2}}$

Beteende för argumentet för zeta-funktionen på den kritiska raden

A. A. Karatsuba fick ett antal nya resultat [46] [47] angående beteendet hos funktionen , kallat argumentet för Riemann zeta-funktionen på den kritiska linjen (här , ökningen av en godtycklig kontinuerlig gren längs den streckade linjen som förbinder punkterna och ). Bland dem finns satser om medelvärdena för en funktion och dess antiderivata på segment av den reella linjen, samt satsen att varje intervall vid innehåller minst $S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg \zeta (s)$ $2.2+it$ ${\tfrac {1}{2}}+it$ $S(t)$ $S_{{1}}(t)=\int _{{0}}^{{t}}S(u)du$ $(T,T+H]$ $H\geq T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/3}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

punkter för förändring av tecken för funktionen . Tidigare har liknande resultat fastställts av A. Selberg för fallet . $S(t)$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$

Karaktärer i Dirichlet

Uppskattningar för korta summor av tecken i ändliga fält

I slutet av 1960-talet A. A. Karatsuba, samtidigt som han uppskattade korta summor av tecken , skapade [48] en ny metod som gjorde det möjligt att erhålla icke-triviala uppskattningar för korta summor av tecken i finita fält . Låta vara ett fast heltal, vara ett polynom irreducible över fältet av rationella tal, vara roten av ekvationen , vara en förlängning av fältet , vara grunden för , , , . Låt vidare vara ett tillräckligt stort primtal så att det är irreducible modulo , vara ett Galois fält med bas , och vara en icke-principiell Dirichlet karaktär av fältet . Låt slutligen vara några icke-negativa heltal, vara uppsättningen av element i Galois-fältet , $n\geq 2$ $F(x)=x^{{n}}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\ldots +a_{{1}}x+a_{{0}}$ $\mathbb {Q}$ $\theta$ $F(\theta )=0$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\mathbb {Q}$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\omega _{{1}}=1$ $\omega _{{2}}=\theta$ $\omega _{{3}}=\theta ^{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}=\theta ^{{n-1}}$ $sid$ $F(x)$ $sid$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\omega _{{1}},\omega _{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}$ $\chi$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\nu _{{1}},\ldots ,\nu _{{n}}$ $D(X)$ ${\bar {x}}$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$

{\bar {x}}=x_{{1}}\omega _{{1}}+\ldots +x_{{n}}\omega _{{n}}

så att för alla , , gäller följande ojämlikheter: $i$ $1\leq i\leq n$

\nu _{{i}}<x_{{i}}<\nu _{{i}}+X

A. A. Karatsuba bevisade att för alla fasta , , och godtyckliga med villkoret $k$ $k\geq n+1$ $X$

p^{{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}}\leq X\leq p^{{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}

rättvis bedömning:

{\biggl |}\sum \limits _{({\bar {x}}\in D(X)))\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl ( }X^{{1-{\frac {1}{k))))p^{({\frac {1}{4k))+{\frac {1}{4k^{{2)))) }}{\Bigr )}^{{\!\!n}}(\ln p)^{{\gamma }}),

var och konstanten beror bara på och grunden . $\gamma ={\frac {1}{k}}(2^{{n+1}}-1)$ $c$ $n$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$

Uppskattningar för linjära summor av tecken i termer av förskjutna primtal

A. A. Karatsuba utvecklade ett antal nya trick, vars användning, tillsammans med I. M. Vinogradovs metod för att uppskatta summor med primtal, gjorde det möjligt för honom att 1970 få [49] [50] en uppskattning av summan av värden för en icke- huvudtecken modulo ett primtal på en sekvens av skiftade primtal, nämligen en uppskattning av formen $q$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}} {1024}}}},

där är ett heltal med villkoret , är ett godtyckligt litet fast nummer, , och konstanten beror bara på . $k$ $k\not \equiv 0{\pmod {q}}$ $\varepsilon$ $N\geq q^{{1/2+\varepsilon }}$ $c$ $\varepsilon$

Detta påstående är en betydande förstärkning av I. M. Vinogradovs uppskattning, som är icke-trivial för . $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$

1971 , vid den internationella konferensen om talteori tillägnad 80-årsdagen av födelsen av I. M. Vinogradov , noterade akademikern Yu. V. Linnik följande:

Mycket viktiga är studierna av I. M. Vinogradov inom området för asymptotik av Dirichlet-karaktärer i skiftade primtal , vilket gav en effektlagsminskning i jämförelse med redan vid , , där är tecknets modul. Denna uppskattning är av grundläggande betydelse, eftersom den överträffar på djupet vad den direkta tillämpningen av den utökade Riemann-hypotesen ger , och tydligen i denna riktning är sanningen djupare än den angivna hypotesen (om hypotesen är korrekt). Nyligen lyckades A. A. Karatsuba förbättra denna uppskattning. $\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k)$ $N$ $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$ $\varepsilon >0$ $q$

Detta resultat överfördes av A. A. Karatsuba till fallet när primtalen löper genom en aritmetisk progression, vars skillnad ökar med modulen . $sid$ $q$

Uppskattningar för teckensummor i polynom med enkelt argument

A. A. Karatsuba [48] [51] erhöll en serie uppskattningar för summorna av Dirichlet-tecken av polynom av andra graden för fallet när argumentet för polynomet löper över en kort sekvens av på varandra följande primtal. Låt, till exempel, vara ett tillräckligt stort primtal, , där och är heltal som uppfyller villkoret , och låt beteckna Legendre-symbolen , sedan för alla fasta villkor och för summan , $q$ $f(x)=(xa)(xb)$ $a$ $b$ $ab(ab)\not \equiv 0{\pmod {q}}$ $\left({\frac {n}{q}}\right)$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $N>q^{{3/4+\varepsilon }}$ $S_{{N}}$

S_{{N}}=\summa \limits _{{p\leq N}}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},

rättvis bedömning:

|S_{{N}}|\leq c\pi (N)q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{100}}}}

(här, successiva primtal löper igenom, är antalet primtal som inte överstiger , och är en konstant som endast beror på ). $sid$ $\pi (N)$ $N$ $c$ $\varepsilon$

En liknande uppskattning erhölls också av A. A. Karatsuba för fallet när en sekvens av primtal som tillhör en aritmetisk progression går igenom, vars skillnad kan växa med modulen . $sid$ $q$

A. A. Karatsuba gissade att en icke-trivial uppskattning av summan för , "liten" i jämförelse med , förblir giltig även om vi ersätter den med ett godtyckligt polynom av den e graden, som inte är en kvadratisk modulo . Denna hypotes har ännu inte bevisats. $S_{{N}}$ $N$ $q$ $f(x)$ $n$ $q$

Nedre gränser för summor av tecken i polynom

A. A. Karatsuba konstruerade [52] en oändlig sekvens av primtal och en sekvens av gradpolynom med heltalskoefficienter som inte är en perfekt kvadratisk modulo , $sid$ $f(x)$ $n$ $f(x)$ $sid$

{\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p)),

och de som

\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.

Med andra ord, för vilket värde som helst visar det sig vara en kvadratisk restmodulo . Detta resultat visar att A. Weyls uppskattning $x$ $f(x)$ $sid$

{\biggl |}\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq ( n-1){\sqrt{p))

man kan inte förbättra för mycket och ersätta den högra sidan av den sista ojämlikheten, säg, med värdet , där är en absolut konstant. $C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}$ $C$

Teckensummor på additiva sekvenser

A. A. Karatsuba föreslog en ny metod [53] [54] som gör det möjligt att hitta mycket exakta uppskattningar för värdesummorna av icke-huvudsakliga Dirichlet-tecken på additiv sekvens, det vill säga på sekvenser som består av siffror i formen , där variablerna och oberoende av varandra köra, respektive några uppsättningar och . $x+y$ $x$ $y$ $A$ $B$

Det mest slående exemplet på resultat av detta slag är följande påstående, som kan användas för att lösa en bred klass av problem relaterade till summeringen av värdena för Dirichlet-karaktärer. Låta vara ett godtyckligt litet fast nummer, , vara ett tillräckligt stort primtal och vara ett icke-huvudtecken modulo . Låt, vidare, och vara godtyckliga delmängder av hela systemet av rester modulo , som endast uppfyller villkoren , . Då sker följande uppskattning: $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $q$ $\chi$ $q$ $A$ $B$ $q$ $\|A\|>q^{{\varepsilon ))$ $\|B\|>q^{{1/2+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{x\in A}}\sum \limits _{{y\in B}}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\ |\cdot \|B\|q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{20}}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.

Metoden för A. A. Karatsuba tillåter en att få icke-triviala uppskattningar av summor av detta slag och i vissa fall, när ovanstående villkor på uppsättningarna och ersätts av andra, till exempel: , $A$ $B$ $\|A\|>q^{{\varepsilon ))$ ${\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{{1/2+\varepsilon }}.$

I fallet när och är uppsättningar av primtal av segment respektive och , finns det en uppskattning av formen: $A$ $B$ $(1,X]$ $(1,Y]$ $X\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$ $Y\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq X}}\sum \limits _{{p'\leq Y}}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{{-c_{{1}}\varepsilon ^{{2}}}},

där är antalet primtal som inte överstiger , , och är någon absolut konstant. $\pi (Z)$ $Z$ $c=c(\varepsilon )>0$ $c_{{1}}$

Fördelning av kraftrester och primitiva rötter i glesa sekvenser

A. A. Karatsuba erhöll [55] [56] (2000) icke-triviala uppskattningar för summorna av värden av Dirichlet-tecken "med vikter", det vill säga summor av termer i formen , där är en funktion av det naturliga argumentet. Uppskattningar av detta slag används för att lösa ett brett spektrum av problem inom talteorin relaterade till fördelningen av kraftrester (icke-rester), såväl som primitiva rötter i olika sekvenser. $\chi (n)f(n)$ $f(n)$

Låt vara ett heltal, vara ett tillräckligt stort primtal, , , , där , och låt slutligen, $k\geq 2$ $q$ $(a,q)=1$ $|a|\leq {\sqrt {q}}$ $N\geq q^{{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$ $0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}$

D_{{k}}(x)=\summa \limits _{{x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x}}1=\summa \limits _{{n\leq x}}\tau _{{k}}(n)

(för det asymptotiska uttrycket för se ovan, i avsnittet som ägnas åt det flerdimensionella problemet med Dirichlet-delare). För summor och kvantiteter utvidgade till värden där talen är kvadratiska rester (respektive icke-rester) modulo , erhöll A. A. Karatsuba asymptotiska formler av formen $D_{{k}}(x)$ $V_{{1}}(x)$ $V_{{2}}(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V_{{1}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{-0.01\varepsilon ^{{2}} }}{\bigr )},\quad V_{{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{ -0.01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

På samma sätt, för summan av värden som tas över alla , för vilket är en primitiv rot modulo , får vi ett asymptotiskt uttryck av formen $V(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{{1))))\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{{s)))) \right)D_{{k))(x)+O{\bigl (}xq^{{-0.01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

var är alla primtalsdelare för . $p_{{1}},\ldots ,p_{{s}}$ $q-1$

Metoden som utvecklats av A. A. Karatsuba tillämpades också av honom på problem med fördelningen av kraftrester (icke-rester) i sekvenser av skiftade primtal , formtal , etc. $p+a$ $x^{{2}}+y^{{2}}+a$

De senaste årens verk

Under de senaste åren var han, förutom forskning inom området talteori (se Karatsuba-effekten [57] [58] ), engagerad i några problem inom teoretisk fysik [59] , bland annat inom området kvantfältteori . Genom att tillämpa sin ATS-sats och några andra talteoretiska tillvägagångssätt fick han nya resultat [60] [61] i Jaynes-Cummings-modellen i kvantoptik .

Familj och hobbyer

Hans fru är klasskamrat vid fakulteten för mekanik och matematik vid Moskvas statliga universitet Diana Vasilievna Senchenko (född 1936), docent vid institutionen för matematiska metoder för ekonomisk analys vid fakulteten för ekonomi vid Moskvas statliga universitet . Dotter Ekaterina (född 1963) - Doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper, ledande forskare vid Computing Center. A. A. Dorodnitsyna RAS [62] .

Anatoly Karatsuba ägnade sig åt sport hela sitt liv: under sina första år lyfte han och brottade, sedan bergsklättring, [63] bergsklättring, speleologi och bergsturism. Passerade Krim-murarna i Ai-Petri , Kush-Kai , Opolznevoy, Foros och många andra, deltog i speleologiska expeditioner till grottorna i Anakopia (Nya Athos) , Kaskadnaya, Nazarovskaya.

Elva gånger klättrade han till en höjd av mer än 7000 meter och erövrade topparna

kommunismens topp (Sovjetunionens högsta topp) 1977 och 1985;
Lenin-toppen 1968 och 1979;
topp Korzhenevskaya 1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1988 och 1991,

Fyra gånger erövrade Elbrus . Han gjorde resor i bergen i Kaukasus , Pamirerna och, särskilt under de sista åren av sitt liv, Tien Shan i Kirgizistan Ala-Too , Zailiysky Alatau , Terskey och Kungei Ala-Too .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 S. A. Gritsenko, E. A. Karatsuba, M. A. Korolev, I. S. Rezvyakova, D. I. Tolev, M. E. Changa. Vetenskapliga prestationer av Anatoly Alekseevich Karatsuba. Matematik och informatik, 1. // På 75-årsdagen av Anatoly Alekseevich Karatsubas födelse . - Modernt. prob. Mat.. - 2012. - T. 16. - S. 7-30.
↑ Knut D. Konsten att programmera. - 1:a uppl. - M . : Mir (förlag), 1977. - T. 2. - S. 315. - 724 sid.
↑ Moore, E.F. Gedanken-experiment on Sequential Machines // Automata Studies, Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press, Princeton, NJ,. - 1956. - Nr 34 . - S. 129-153 .
↑ Karatsuba, A. A. Lösning av ett problem från teorin om finita automater // Uspekhi Mat. - 1960. - Nr 15: 3 . - S. 157-159 .
↑ 1 2 Karatsuba A. A. Beräkningskomplexitet // Tr. MIAN. - 1995. - T. 211 . - S. 186-202 .
↑ Karatsuba A., Ofman Yu. Multiplikation av siffror med flera värden på automater // Rapporter från USSR:s vetenskapsakademi. - 1962. - T. 145 , nr 2 .
↑ Karacuba A. Berechnungen und die Kompliziertheit von Beziehungen (tyska) // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. - 1975. - Bd. 11 .
↑ Knut D. Konsten att programmera. - 3:e uppl. - M. : Williams , 2007. - V. 2. Erhållna algoritmer. — 832 sid. — ISBN 0-201-89684-2 . .
↑ Schönhage A., Strassen V. Schnelle Multiplikation großer Zahlen // Computing. - 1971. - Nr 7 . - s. 281-292.
↑ Strassen V. Gaussisk eliminering är inte optimal // Antal . Math / F. Brezzi - Springer Science + Business Media , 1969. - Vol. 13, Iss. 4. - s. 354-356. — ISSN 0029-599X ; 0945-3245 - doi:10.1007/BF02165411
↑ Jean-Paul Delahaye. Mathematiques et philosophie (franska) // Pour la Science. - 2000. - Nr 277 . - S. 100-104 .
↑ G. I. Arkhipov; V. N. Tjubarikov. Om det matematiska arbetet av professor A. A. Karatsuba // Proceedings of MIAN . - 1997. - T. 218 . - S. 7-19 .
↑ Karatsuba A. A. Grunderna för analytisk talteori // Moskva: Nauka. — 1975.
↑ 1 2 Arkhipov G.I., Karatsuba A.A., Chubarikov V.N. Theory of multiple trigonometric sums // M.: Nauka. — 1987.
↑ Voronin S. M., Karatsuba A. A. Riemann zeta function // Moskva: Fizmatlit. — 1994.
↑ Karatsuba AA Komplex analys i talteori // London, Tokyo: CRC. — 1995.
↑ Karatsuba, A. A. Uppskattningar för trigonometriska summor av en speciell form och deras tillämpningar // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi: tidskrift. - 1961. - Nr 137:3 . - S. 513-514 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Warings problem för jämförelse modulo en potens av ett primtal // Vestn. Moscow State University: tidskrift. - 1962. - Nr 1: 4 . - S. 28-38 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Om att uppskatta antalet lösningar av några ekvationer // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi. - 1965. - Nr 165: 1 . - S. 31-32 .
↑ Karatsuba, A. A. Jämförelsesystem och ekvationer av Waring-typ // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi. - 1965. - Nr 1: 4 . - S. 274-276 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. Trigonometriska integraler // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1979. - T. 43 , nr 5 . - S. 971-1003 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Medelvärdessatser och fullständiga trigonometriska summor // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. matematik. : tidning. - 1966. - Nr 30: 1 . - S. 183-206 . (ryska)
↑ Vinogradov I. M., Karatsuba A. A. Metod för trigonometriska summor i talteori // Proceedings of MIAN. - 1984. - Nr 168 . - S. 4-30 .
↑ Arkhipov, G. I. Satsen om medelvärdet av modulen för en multipel trigonometrisk summa // Matem. anteckningar: journal. - 1975. - Nr 17: 1 . - S. 143-153 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Om funktionen G(n) i Waring-problemet // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1985. - Nr 49: 5 . - S. 935-947 . (ryska)
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Flerdimensionell analog av Waring-problemet // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi. - 1987. - Nr 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Warings problem i flera dimensioner // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - Nr 42 . - S. 5-6 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Om den lokala representationen av noll med en form // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat.. - 1981. - Nr 45:5 . - S. 948-961 .
↑ Karatsuba, A. A. Analogues of Kloosterman sums // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1995. - Nr 59:5 . - S. 93-102 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Analoger av ofullständiga Kloosterman summor och deras tillämpningar // Tatra Mountains Math. Publ.. - 1997. - Nr 11 . - S. 89-120 .
↑ Karatsuba, A. A. Double Kloosterman sums // Matem. anteckningar. - 1999. - Nr 66: 5 . - S. 682-687 .
↑ Karatsuba, A. A. Nya uppskattningar för korta Kloosterman summor // Matem. anteckningar. - 2010. - Nr 88:3 . - S. 384-398 .
↑ Karatsuba, A. A. På nollorna för funktionen ζ(s) på korta intervaller av den kritiska linjen // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 1984. - Nr 48:3 . - S. 569-584 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Fördelning av nollor för funktionen ζ(1/2 + it) // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1984. - Nr 48:6 . - S. 1214-1224 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. På nollorna i Riemanns zeta-funktion på den kritiska linjen // Trudy MIAN. - 1985. - Nr 167 . - S. 167-178 .
↑ Selberg, A. Om nollorna i Riemanns zeta-funktion // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - Nr 10 . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. På antalet nollor i Riemann zeta-funktionen som ligger på nästan alla korta intervall av den kritiska linjen // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 1992. - Nr 56: 2 . - S. 372-397 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. På nollorna i Davenport–Heilbronn-funktionen som ligger på den kritiska linjen // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 1990. - Nr 54: 2 . - S. 303-315 . (ryska)
↑ Karatsuba, AA Om nollor av Davenport–Heilbronn-funktionen // Proc. Amalfi Conf. Analytisk talteori. - 1992. - S. 271-293 .
↑ Karatsuba, A. A. Om nollorna i aritmetiska Dirichlet-serier som inte har en Euler-produkt // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 1993. - Nr 57:5 . - S. 3-14 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Enhetlig uppskattning av den återstående termen i problemet med Dirichlet-delare // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. matematik. : tidning. - 1972. - Nr 36:3 . - S. 475-483 . (ryska)
↑ Karatsuba, AA Det flerdimensionella Dirichlet-divisorproblemet och nollfria regioner för Riemann zeta-funktionen // Functiones et Approximatio : journal. - 2000. - Nej . XXVIII . - S. 131-140 .
↑ Karatsuba, A. A. Om kopplingen av det flerdimensionella problemet med Dirichlet-divisorer med gränsen för nollor ζ(s) // Matem. anteckningar: journal. - 2001. - Nr 70: 3 . - S. 477-480 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A., På nedre gränser för maximum av modulen ζ(s) i små domäner av den kritiska remsan, Mat. anteckningar: journal. - 2001. - Nr 70: 5 . - S. 796-798 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. På nedre gränser för den maximala modulen för Riemann zeta-funktionen på korta intervall av den kritiska linjen // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 2004. - Nr 68: 8 . - S. 99-104 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Densitetssatsen och beteendet hos argumentet för Riemanns zetafunktion // Matem. anteckningar. - 1996. - Nr 60: 3 . - S. 448-449 .
↑ Karatsuba, A. A. På funktionen S(t) // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1996. - Nr 60: 5 . - S. 27-56 . (ryska)
↑ 1 2 Karatsuba, A. A. Summor av tecken och primitiva rötter i finita fält // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi: tidskrift. - 1968. - Nr 180:6 . - S. 1287-1289 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Om uppskattningar av summor av tecken // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat.. - 1970. - Nr 34:1 . - S. 20-30 .
↑ Karatsuba, A. A. Summor av tecken med primtal // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat.. - 1970. - Nr 34:2 . - S. 299-321 .
↑ Karatsuba, A. A. Summor av tecken över en sekvens av skiftade primtal och deras tillämpningar // Math. anteckningar: journal. - 1975. - Nr 17: 1 . - S. 155-159 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Om nedre gränser för summor av tecken i polynom // Matem. anteckningar. - 1973. - Nr 14: 1 . - S. 67-72 .
↑ Karatsuba, A. A. Fördelning av kraftrester och icke-rester i additivsekvenser // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi: tidskrift. - 1971. - Nr 196:4 . - S. 759-760 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Fördelning av värden för Dirichlet-tecken på additivsekvenser // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi: tidskrift. - 1991. - Nr 319:3 . - S. 543-545 . (ryska)
↑ Karatsuba, AA Summor av tecken med primtal och deras tillämpningar // Tatra Mountains Math. Publ. : journal. - 2000. - Nej . 20 . - S. 155-162 .
↑ Karatsuba, A. A. Summor av tecken med vikter // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 2000. - Nr 64: 2 . - S. 29-42 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Om en egenskap hos uppsättningen av primtal // Uspekhi Matematheskikh Nauk. - 2011. - T. 66 , nr 2 (398) . - S. 3-14 .
↑ Karatsuba, A. A. Om en egenskap hos uppsättningen av primtal som en multiplikativ grund för den naturliga serien // Rapporter från Vetenskapsakademien: tidskrift. - 2011. - T. 439 , nr 2 . - S. 1-5 . (ryska)
↑ AA Karatsuba, EA Karatsuba. Fysisk matematik i talteori // Funktionsanalys och annan matematik. - 2010. - doi : 10.1007/s11853-010-0044-5 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA Tillämpning av ATS i en kvantoptisk modell // Analys and Mathematical Physics: Trends in Mathematics. - 2009. - S. 211-232 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA En resummationsformel för kollaps och återupplivande i Jaynes-Cummings-modellen // J. Phys . A: Matematik. Theor. : journal. - 2009. - Nej . 42 . - P. 195304, 16 . - doi : 10.1088/1751-8113/42/19/195304 .
↑ Ekaterina Karatsuba . Hämtad 25 april 2018. Arkiverad från originalet 8 juni 2018. (obestämd)
↑ Basjkirov Vladimir Leonidovich: Berserk Bashkirov. Del ett. . Hämtad 15 mars 2011. Arkiverad från originalet 19 maj 2014. (obestämd)

Länkar

Lista över vetenskapliga artiklar på MIAN- webbplatsen (åtkomstdatum: 24 september 2009)
Data om vetenskapliga intressen, utbildning och yrkesverksamhet (Åtkomstdatum: 24 september 2009)
Arkhipov G. I. , Chubarikov V. N. Anatoly Alekseevich Karatsuba

Tematiska platser

I bibliografiska kataloger
BIBSYS: 90293228 BNF : 124713866 GND : 1024789535 ICCU : UFIV062685 ISNI : 0000 0001 0902 4998 J9U : 987007423961405171 LCCN : n80106990 NKC : jx20061125010 NTA : 084809418 NUKAT : n98022568 SUDOC : 033903808 VIAF : 54247158 WorldCat VIAF : 54247158