Tangent utrymme

Tangentrymden till ett jämnt grenrör vid en punkt är en samling tangentvektorer med vektorrummets naturliga struktur införd på den . Tangentrymden till vid en punkt betecknas vanligtvis eller - när det är uppenbart vilken sorts grenrör vi talar om - helt enkelt . $M$ $x$ $M$ $x$ $T_{x}M$ $T_{x}$

Samlingen av tangentutrymmen på alla punkter i grenröret (tillsammans med själva grenröret) bildar en vektorbunt , som kallas en tangentbunt . Följaktligen är varje tangentutrymme en fiber i tangentknippet.

Tangentutrymmet vid en punkt till ett undergrenrör $sid$ definieras på liknande sätt.

I det enklaste fallet, när ett jämnt grenrör är smidigt inbäddat i ett vektorrum (vilket alltid är möjligt, enligt Whitneys Embedding Theorem ), kan varje tangentrum naturligt identifieras med något affint delrum av det omgivande vektorrummet.

Definitioner

Det finns två standarddefinitioner av tangentrymd: genom ekvivalensklassen för jämna kurvor och genom differentiering vid en punkt. Den första är intuitivt enklare, men det finns ett antal tekniska svårigheter på vägen. Den andra är den enklaste, även om abstraktionsnivån är högre i den. Den andra definitionen är också lättare att tillämpa i praktiken.

Som en ekvivalensklass för jämna kurvor

Låt vara en slät grenrör och . Tänk på en klass av jämna kurvor så att . Låt oss introducera en ekvivalensrelation: if $M$ $p\in M$ $\Gamma _{p}$ $\gamma \colon {\mathbb I}\till M$ $\gamma (0)=p$ $\Gamma _{p}$ $\gamma _{1}\sim \gamma _{2}$

|\gamma _{1}(t)-\gamma _{2}(t)|=o(t),t\to 0

i någon (och därmed i vilken som helst) karta som innehåller . $sid$

Elementen i tangentrymden definieras som -ekvivalensklasser ; det är $T_{p}$ $\sim$ $\Gamma _{p}$

T_{p}=\Gamma _{p}/\sim

I en karta som motsvarar ursprunget kan kurvorna från adderas och multipliceras med ett tal enligt följande $sid$ $\Gamma _{p}$

(\gamma _{1}+\gamma _{2})(t)=\gamma _{1}(t)+\gamma _{2}(t)

(k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)

Resultatet ligger kvar i . $\Gamma _{p}$

Dessa operationer fortsätter upp till ekvivalensklasserna . Dessutom är operationerna som induceras på operationerna inte längre beroende av valet av kartan. Så här definieras strukturen för ett vektorrum. $T_{p}=\Gamma _{p}/\sim$ $T_{p}$ $T_{p}$

Genom differentiering vid en punkt

Låt vara en -smidig grenrör. Då är tangentutrymmet till ett grenrör vid en punkt utrymmet för härledningar vid denna punkt, det vill säga utrymmet för operatorer som tilldelar ett nummer till varje jämn funktion och uppfyller följande två villkor: $M$ $C^\infty$ $M$ $p\in M$ $x,$ $f:M\to \mathbb{R}$ $Xf,$

$\mathbb {R}$ -linjäritet: $X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\;\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,f,h\in C^{\infty }(M)$
Leibniz regel : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),\;f,h\in C^{\infty }(M).$

På uppsättningen av alla härledningar vid en punkt uppstår den naturliga strukturen av ett linjärt utrymme: $sid$

$(X+Y)f=Xf+Yf;$ $(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Anteckningar

I fallet med -släta grenrör bör ytterligare en egenskap läggas till definitionen via differentiering $C^k$ $xf=0$ om $f(q)=o(|pq|)$

i någon (och därmed i vilken som helst) karta som innehåller .

sid

Annars kommer denna definition att ge ett oändligt dimensionellt utrymme inklusive tangentrymden. Detta utrymme kallas ibland det algebraiska tangentutrymmet . Se nedan.

Låt . Då är Leibniz-regeln och operatörens linjäritetsvillkor uppfyllda för . Detta gör det möjligt att identifiera tangentrymden som erhålls i den första och andra definitionen. $\gamma \in \Gamma _{p}$ $Xf=(f\circ \gamma )'(0)$

Egenskaper

Tangentrymden för ett -dimensionellt jämnt grenrör är ett -dimensionellt vektorrum $n$ $n$
För en vald lokal karta , differentieringsoperatorer med avseende på : $x_{1},\dots ,x_{n}$ $X_{i}$ $x_{i}$ $X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$

representerar en bas , kallad holonomisk bas .

T_{p}

Relaterade definitioner

Ett kontaktelement till ett grenrör vid någon punkt är vilket hyperplan som helst av tangentrymden vid den punkten.

Variationer och generaliseringar

Algebraisk tangentrymd

Det algebraiska tangentutrymmet uppstår när vi i definitionen av tangentvektorn avsäger sig det ytterligare kravet som uttrycks i anmärkningen ovan (vilket dock endast har betydelse för -differentiera grenrör, ). Dess definition generaliserar till alla lokalt ringade utrymmen (i synnerhet till alla algebraiska varianter ). $C^k$ $k<\infty$

Låta vara ett differentierbart grenrör och vara en ring av differentierbara funktioner från till . Betrakta ringen av funktionsbakterier vid en punkt och den kanoniska projektionen . Beteckna med ringens kärna homomorfism . Låt oss introducera strukturen för en verklig algebra med hjälp av en injektiv homomorfism och ytterligare identifiera och . Jämlikheten [1] gäller . Beteckna med subalgebra som består av alla bakterier vars representanter har noll skillnader vid en punkt i varje diagram ; beteckna . Observera att . $M$ $C^k$ $C^{k}(M)$ $M$ $\mathbb {R}$ $C_{x}^{k}$ $x \i M$ $[-]_{x}:C^{k}(M)\till C_{x}^{k}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $[f]_{x}\mapsto f(x)$ $C_{x}^{k}$ $i:{\mathbb {R}}\to C_{x}^{k}$ $i(a)=[{\mathrm {const}}_{a}]_{x}$ $\mathbb {R}$ $i({\mathbb {R}})$ $C_{x}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ $C_{{x,0}}^{k}$ $C_{x}^{k}$ $x$ $C_{{x,d}}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $C_{{x,d}}^{k}\subset C_{{x,0}}^{k}$

Tänk på två vektorrum:

$T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{{x,0}}^{k})^{*}$ — detta utrymme har dimension och sammanfaller med det tidigare definierade tangentutrymmet till punkten , $\operatörsnamn {dim}M$ $M$ $x$
$(C_{x}^{k}/C_{{x,d}}^{k})^{*}\cong ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_ {x}^{2})^{*}$ — detta utrymme är isomorft till utrymmet av härledningar med värden på , det kallas det algebraiska tangentutrymmet [2] i punkten . $C_{x}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathbb {R}}\subset C_{x}^{k}$ $M$ $x$

Om , har då dimensionen av kontinuumet , och innehåller som ett icke-trivialt delrum; i fall eller dessa utrymmen sammanfaller (och ) [3] . I båda fallen kan den identifieras med (under)rymden av härledningar med värden i ; för en vektor definierar formeln en injektiv homomorfism i utrymmet av härledningar med värden i (strukturen av den verkliga algebra på ges på liknande sätt ). I det här fallet erhålls exakt definitionen ovan. $k<\infty$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ $T_{x}M$ $k=\infty$ $k=\omega$ $C_{{x,0}}^{k}=C_{{x,d}}^{k}$ $T_{x}M$ $C_{x}^{k}$ $\mathbb {R}$ $X\in T_{x}M$ $X(f)=X([f]_{x})$ $T_{x}M$ $C^{k}(M)$ $\mathbb {R}$ $C^{k}(M)$ $C_{x}^{k}$ $k=\infty$

Se även

Anteckningar

↑ J.-P. Serre , Lie Algebras and Lie Groups, Moskva: Mir, 1969.
↑ Laird E. Taylor , The Tangent Space to a Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, nr. 4 juli 1973. $C^k$
↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. co., 1983.