Kvantil

En kvantil i matematisk statistik är ett värde som en given stokastisk variabel inte överskrider med en fast sannolikhet . Om sannolikheten anges i procent, så kallas kvantilen för en percentil eller percentil (se nedan ).

Till exempel betyder frasen "90:e percentilen av kroppsvikt hos nyfödda pojkar är 4 kg" [1] att 90 % av pojkarna föds som väger mindre än eller lika med 4 kg, och 10 % av pojkarna föds med en vikt på mer än 4 kg .

Definition

Betrakta ett sannolikhetsutrymme och är ett sannolikhetsmått som anger fördelningen av någon slumpvariabel . Låt det fixas . Då -kvantilen (eller nivåkvantilen ) av fördelningen är talet , så att $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\alpha \in(0,\;1)$ $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x_{\alpha }\in \mathbb{R}$

\mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha

\mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .

I vissa källor (till exempel i engelskspråkig litteratur) är -m -kvantilen nivåkvantilen , det vill säga -kvantilen i föregående notation. $k$ $q$ $k/q$ $(k/q)$

Anteckningar

Om fördelningen är kontinuerlig, så är -kvantilen unikt given av ekvationen $\alfa$

F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,

var är fördelningsfunktionen . $F_{X}$ $\mathbb {P} ^{X}$

Uppenbarligen, för kontinuerliga distributioner, gäller följande likhet, som används allmänt för att konstruera konfidensintervall :

{\mathbb {P}}\left(x_{{{\frac {1-\alpha }{2}}}}\leqslant X\leqslant x_{{{\frac {1+\alpha }{2}}} }\right)=\alpha .

För en empirisk fördelning kan -kvantilen specificeras på följande sätt: $\alfa$

vi komponerar en variationsserie av värden (provet har en volym ), och anser också att (detta är nödvändigt när man beräknar 100%-kvantilen med hjälp av formlerna nedan); $V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{{N-1}}$ $N$ $V_{N}=V_{{N-1}}$
hitta värdet ; $K=\lgolv \alpha \cdot (N-1)\rgolv$
jämför och : $K$ $\alpha \cdot N$

a) om , då sätter vi ;

K+1<\alfa N

x_{\alpha }=V_{{K+1}}

b) om , då sätter vi ;

K+1=\alfa N

x_{{\alpha }}=(V_{K}+V_{{K+1}})/2

c) om , då antar vi .

K+1>\alfa N

x_{{\alpha }}=V_{K}

Givet på detta sätt uppfyller -kvantilen ovanstående definition. $\alfa$

I vissa fall (med en stor urvalsstorlek och en empirisk fördelning nära kontinuerlig) kan en ungefärlig jämförelse användas istället för jämlikhet (detta gör att t.ex. 1/3-nivåkvantilen kan representeras som 0,33 ... 333 inom databehandling). $K+1=\alfa N$ $|K+1-\alfa N|<1/N$

Median och kvartiler

0,25-kvantilen kallas den första (eller lägre) kvartilen (av latin quarta - en fjärdedel);
0,5-kvantilen kallas medianen (från latin mediāna - mitten) eller andra kvartilen ;
Kvantilen 0,75 kallas den tredje (eller översta) kvartilen .

Interquartile range ( eng. Interquartile range ) är skillnaden mellan den tredje och första kvartilen, det vill säga . Interkvartilintervallet är ett kännetecken för spridningen av fördelningen av ett värde och är en robust analog av dispersionen . Tillsammans kan median- och interkvartilintervallet användas istället för medelvärde och varians vid fördelningar med stora extremvärden, eller när de senare inte kan beräknas. $x_{{0{,}75}}-x_{{0{,}25}}$

Decil

En decil kännetecknar fördelningen av befolkningsvärden, där nio decilvärden delar upp den i tio lika delar. Någon av dessa tio delar är 1/10 av det totala. Således separerar den första decilen de 10% av de minsta värdena under decilen från de 90% av de största värdena ovanför decilen.

Precis som i fallet med mod och median, i intervallvariationsserien för distribution, tillhör varje decil (och kvartil) ett visst intervall och har ett väldefinierat värde [2] .

Percentil

$sid$ Den e percentilen är nivåkvantilen . Följaktligen är medianen den 50:e percentilen, och den första och tredje kvartilen är den 25:e respektive 75:e percentilen. $\alpha =p/100$

I allmänhet är begreppen kvantil och percentil utbytbara. , samt skalorna för beräkning av sannolikheter - absoluta och procentuella.

Percentiler kallas också percentiler eller centiler .

Kvantiler av standardnormalfördelningen

Sannolikhet (kvantilnivå), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90.00	84,13	50.00
Kvantil (avrundat till tusendelar)	3,719	3,090	2,326	1,999	1 960	1,645	1,282	1 000	0,000

Se även

Anteckningar

↑ Guide till den lokala barnläkaren . - GEOTAR-Media, 2008. - S. 44. - 354 sid.
↑ Shmoylova R. A., Minashkin V. G., Sadovnikova N. A. Workshop om statistikteori. - 3:e uppl. - M. : Finans och statistik, 2011. - S. 130-131. — 416 sid. — ISBN 9785279032969 . .

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Treccani
I bibliografiska kataloger	GND : 4224812-7