Kovariant vektor

I linjär algebra är en kovariant vektor på ett vektorrum detsamma som en linjär form (linjär funktionell) på det rummet.

I differentialgeometri är en kovariant vektor på ett differentierbart grenrör en jämn sektion av kotangensknippet. På motsvarande sätt är en kovariant vektor på ett grenrör M en jämn avbildning av det totala utrymmet för tangentknippet M till R , vars begränsning till varje lager är en linjär funktion på tangentrymden. Det kommer att skrivas så här:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

där α x är linjär.

Sam- och kontravarianta vektorer i utrymmen (på grenrör) med icke-degenererad metrisk

Vidare antas det att på det utrymme i vilket de beskrivna objekten finns (eller på grenröret i vars tangentutrymme de finns) ges ett icke-degenererat mått.

Överensstämmelse mellan vektorer och kovektorer

Om en icke-degenererad metrisk tensor definieras , kan formellt "kovariansvektorn" och "kontravariantvektorn" betraktas som helt enkelt olika representationer (poster i form av en uppsättning siffror) av samma geometriska objekt - en vanlig vektor . Det vill säga, samma vektor kan skrivas som kovariant (det vill säga genom en uppsättning kovarianta koordinater) eller kontravariant (det vill säga genom en uppsättning kontravarianta koordinater). Transformationen från en representation till en annan görs helt enkelt genom faltning med en metrisk tensor :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(här och nedan menar vi summering över ett upprepat index, enligt Einsteins regel).

Skillnaden mellan vektorer och kovektorer

Meningsfullt särskiljs vektorer och kovektorer av vilken av representationerna som är naturliga för dem. Så för kovektorer - till exempel för en gradient - är expansion på en dubbel basis naturlig, eftersom deras naturliga faltning (skalär produkt) med en vanlig vektor (till exempel förskjutning) utförs utan deltagande av ett mått, helt enkelt genom att summera de multiplicerade komponenterna. För vanliga vektorer (till vilka förskjutningen i rumsliga koordinater också hör ) är expansion i huvudbasen naturlig, eftersom de konvolverar sig med andra vanliga vektorer, såsom förskjutningsvektorn i rumsliga koordinater, med deltagande av metriken. Till exempel erhålls en skalär (som en total differential ) genom metrisk-fri kontraktion av en kovariant vektor , som är en naturlig representation av gradienten 1-form som verkar på ett skalärt fält, med en kontravariant vektor , som är en naturlig representation av den vanliga förskjutningsvektorn i koordinater; samtidigt kollapsar den med sig själv med hjälp av måttet: , vilket är helt överens med det faktum att det är kontravariant. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \partial _{i}\varphi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Om vi talar om vanligt fysiskt utrymme, är ett enkelt tecken på kovariansen/kontravariansen av en vektor hur dess naturliga representation viks ihop med en uppsättning rumsliga förskjutningskoordinater , vilket är ett exempel på en kontravariant vektor. De som konvolverar med genom enkel summering, utan någon metrik involverad, är kovarianta vektorer (1-former); annars (faltning kräver deltagande av ett mått) är dessa kontravarianta vektorer. Om rymden och koordinaterna är helt abstrakta, och det inte finns något sätt att skilja mellan den huvudsakliga och den dubbla basen, förutom genom ett godtyckligt villkorligt val, då försvinner den meningsfulla distinktionen mellan kovarianta och kontravarianta vektorer eller blir också rent villkorad. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Frågan om exakt representationen i vilken vi ser ett föremål är naturlig för det kommer att beröras lite högre. Naturligt för en vanlig vektor är en kontravariant representation, för en kovektor är den kovariant.

Se även

Differentiell form

Se även

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .