Kompakt operatör

En kompakt operatör är ett koncept för funktionsanalys. Kompakta operatorer uppstår naturligt i studiet av integralekvationer, och deras egenskaper liknar de hos operatorer i ändligdimensionella rum. Kompakta operatörer kallas också ofta för helt kontinuerliga .

Definition

Låt vara Banach utrymmen . En linjär operator sägs vara kompakt om den mappar någon avgränsad delmängd till en prekompakt delmängd i . $X,Y$ $T:X\to Y$ $X$ $Y$

Det finns en likvärdig definition som använder begreppet svag topologi : en linjär operator sägs vara kompakt om dess begränsning till enhetskulan i är en kontinuerlig karta med avseende på den svaga topologin i och normtopologin i . Uppenbarligen är egenskapen kompakthet starkare än begränsning. $T:X\to Y$ $X$ $X$ $Y$

Uppsättningen av kompakta operatorer betecknas med . Det är en delmängd i utrymmet för avgränsade operatorer som verkar från till . $T:X\to Y$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X$ $Y$

De enklaste egenskaperna

Varje helt kontinuerlig operator är begränsad, men inte varje begränsad operator är helt kontinuerlig [1] .
En linjär kombination av helt kontinuerliga operatorer av formen , där är tal, är också en helt kontinuerlig operator [2] . $A,B$ $\alpha A+\beta B$ $\alfa ,\beta$
Låt vara en helt kontinuerlig operator som kartlägger ett oändligt dimensionellt Banach-utrymme i sig självt, och låt vara en godtycklig linjär avgränsad operator definierad på samma utrymme. Sedan och är helt kontinuerliga operatörer [2] . $A$ $B$ $AB$ $BA$
Om en sekvens av helt kontinuerliga operatorer som kartlägger ett utrymme till ett komplett utrymme konvergerar enhetligt till en operatör (dvs ), så är det också en helt kontinuerlig operator. [2] [3] $\left\{A_{n}\right\}$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $A$ $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$ $A$
Om en operatör är kompakt är dess anslutning också kompakt.

Exempel

De mest meningsfulla exemplen på kompakta operatorer tillhandahålls av teorin om integralekvationer:

Låt oss ta en godtycklig funktion . Då är integraloperatorn som definieras enligt följande kompakt: $g\in L_{2}([0,1]\ gånger [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Låt funktionen g ha diskontinuitetspunkter endast på ett ändligt antal kurvor. Då är operatören , definierad på exakt samma sätt som operatören i föregående exempel, redan kompakt i utrymmet av kontinuerliga funktioner. $[0,1]\ gånger [0,1]$ $T:C(0,1)\to C(0,1)$

En diagonaloperator som motsvarar en sekvens och agerar enligt regeln är begränsad om och endast om sekvensen är begränsad, och kompaktheten är ekvivalent med sekvensens konvergens till noll. $T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2}$ $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )$ $\lambda$ $\lambda$

En inverterbar operator är kompakt om och endast om den är ändlig dimensionell. $A:X\to Y$ $X,Y$

Finitdimensionella operatorer

Uppenbarligen är vilken linjär avgränsad operator som helst med en finitdimensionell bild kompakt (sådana operatorer kallas finite -dimensional ). För en kompakt operator , där är ett Hilbert-rum, finns det alltid en sekvens av finita dimensionella operatorer som konvergerar till normen. Detta gäller dock inte för godtyckligt utrymme . Ett Banach-utrymme sägs ha approximationsegenskapen om , för vilket Banach-utrymme, vilken kompakt operator som helst kan approximeras med finitdimensionella operatorer. Det finns separerbara Banach-utrymmen som inte har den ungefärliga egenskapen. $T:X\to Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $X$ $T:X\to Y$

Egenskaper för utrymmet för kompaktoperatorer

Det följer omedelbart av de grundläggande egenskaperna hos kompakta operatörer som är ett delutrymme i . Det kan dock visas att detta delutrymme är stängt. I fallet när , får utrymmet för operatorer strukturen av en algebra (multiplikation ges av sammansättningen av operatorer). Då är en sluten dubbelsidig ideal i . ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

Approximationsegenskapen för ett utrymme kan formuleras enligt följande: för vilket Banach-utrymme som helst är utrymmet stängningen av utrymmet för änddimensionella operatorer från till . $Y$ $X$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Spektrala egenskaper hos kompakta operatorer

Låt vara en kompakt operatör. Då är operatören en Noetherian operator av index 0 (Fredholm). I synnerhet har vi Fredholm- alternativet för : det är surjektivt om och bara om det är injektivt (alternativet är att antingen kärnan inte är tom eller så sammanfaller bilden med hela utrymmet). Som en konsekvens erhåller vi omedelbart att hela spektrumet som inte är noll för en kompakt operator är diskret (de resterande och kontinuerliga spektra kan endast innehålla noll). Noll tillhör alltid operatorns spektrum i det oändliga dimensionsfallet (annars skulle den inverterbara operatorn vara kompakt) och kanske inte är ett egenvärde för operatorn . $T:X\to X$ $K=IT$ $K$ $T$ $T$

I fallet när operatorn är självadjoint (här Hilbert), har vi dessutom Hilbert - Schmidt -satsen : det finns ett ändligt eller räknebart ortonormalt system av vektorer och en sekvens av reella tal som inte är noll (med samma kardinalitet som system av vektorer) , så att operatören agerar enligt regeln . Denna sats är en naturlig generalisering av en liknande sats för självtillslutande operatorer i ett finitdimensionellt utrymme. Således liknar klassen av kompakta operatorer, ur synvinkeln av spektrala egenskaper, operatorer i ett ändligt dimensionellt utrymme. $T$ $X$ $e_{1},e_{2},\dots$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n))$

Klasser av kompakta operatorer

Låt vara en kompakt operatör och vara Hilbert-utrymmen. Sedan finns det ett par finita eller räknebara ortonormala sekvenser av samma kardinalitet i och i och en icke-ökande sekvens av positiva reella tal (av samma kardinalitet) som konvergerar till noll om den är oändlig, så att operatorn agerar enligt regeln . Detta faktum är känt som Schmidt -satsen (det är mycket likt Hilbert-Schmidt-satsen i sin formulering, och i själva verket tjänar Schmidt-satsen, med små modifieringar för en självadjoint operator, som ett bevis för Hilbert-Schmidts sats. sats). Det är lätt att visa att numren , som kallas Schmidt-nummer, bestäms unikt av operatören. $T:X\to Y$ $X,Y$ $e_{1},e_{2},\dots$ $X$ $f_{1},f_{2},\dots$ $Y$ $s_{1},s_{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\summa \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n))$ $s_{1},s_{2},\dots$

Om konvergerar för en operatör kallas operatören Hilbert - Schmidt -operatören . Normen introduceras av relationen och den genereras av den skalära produkten. Om den konvergerar kallas operatören för en kärnkraftsoperatör eller en operatör med ett spår . På kärnkraftsoperatörernas utrymme introduceras normen av relationen . $T$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2))$ ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2))))$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n))$ $\|T\|=\summa \limits _{n}s_{n}$

Anteckningar

↑ Krasnov, 1975 , sid. 178.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , sid. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, Nauka, 1965

Litteratur

A. Ya Helemsky. Föreläsningar om funktionsanalys. - MTSNMO, 2014. - 552 sid. - 2000 exemplar. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid. - 35 000 exemplar.
Krasnov M. L. Integralekvationer. — M .: Nauka, 1975. — 304 sid.