Komplext plan

Det komplexa [1] planet är en geometrisk representation av mängden komplexa tal . $\mathbb {C}$

En punkt på ett tvådimensionellt reellt plan med koordinater representerar ett komplext tal , där: $\mathbb {R} ^{2}$ $(x,y)$ $z=x+iy$

x=\mathrm {Re} \,z

är den reella (verkliga) delen av det komplexa talet,

y=\mathrm {Im} \,z

är dess imaginära del.

Med andra ord, ett komplext tal motsvarar en radievektor med koordinater.Algebraiska operationer på komplexa tal motsvarar operationer på deras motsvarande punkter eller vektorer. Således får olika relationer mellan komplexa tal en visuell representation på det komplexa planet: $z=x+iy$ $(x,y).$

addition av komplexa tal motsvarar addition av radievektorer;
multiplikation med ett komplext tal motsvarar att vrida radievektorn med en vinkel och sträcka radievektorn med en faktor; ${\displaystyle re^{i\varphi ))$ $\varphi$ $r$
de n:te rötterna av ett tal är belägna vid hörnen av en vanlig n-gon centrerad vid origo.

Komplext värderade funktioner av en komplex variabel tolkas som avbildningar av det komplexa planet in i sig självt. Konforma kartläggningar spelar en speciell roll i komplex analys .

Uppsättningar i det komplexa planet

Öppna uppsättningar

Det grundläggande konceptet för en grannskap introduceras på det komplexa planet mycket enkelt - en grannskap av en punkt är en uppsättning av formen . Geometriskt, på det komplexa planet, har stadsdelarna en mycket enkel form - de är bara cirklar med ett centrum på vissa punkter i det komplexa planet. Ibland krävs det för enkelhetens skull att överväga punkterade stadsdelar . ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ $z_{0}\in {\mathbb C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$

Låt oss nu definiera en öppen mängd - enligt en av varianterna av den klassiska definitionen från allmän topologi kommer en mängd att vara öppen om den för någon av dess punkter innehåller en del av dess grannskap. Vi har redan definitionen av grannskapet, respektive den öppna uppsättningen är inte helt definierad. $\mathbb {C}$

Gränspunkt och stängd uppsättning

Det kommer inte heller att vara svårt att bestämma gränspunkten - punkten kommer att vara gräns för uppsättningen om korsningen inte är tom för ett godtyckligt grannskap. Med andra ord är en punkt begränsande om det alltid kommer att vara möjligt att hitta punkter i mängden i en godtycklig "närhet" till den. Uppsättningen gränspunkter kallas ibland derivata och betecknas . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ $G'$

En uppsättning kommer att kallas för stängd om inkluderingen är sann för den . Det är tydligt att för en godtycklig uppsättning kommer uppsättningen att stängas; det kallas stängning av uppsättningen . $G\subset \mathbb {C}$ $G'\delmängd G$ $G$ $\overline {G}=G\cup G'$ $G$

Kant

En punkt kommer att kallas en gränspunkt för mängden om för ett godtyckligt grannskap korsningarna och inte är tomma. Mängden av alla gränspunkter kallas gränsmängden, eller helt enkelt gränsen . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$ $\partiell G$

Överallt täta uppsättningar

En uppsättning kommer att anropas överallt tät i en annan uppsättning om korsningen inte är tom för en godtycklig punkt och vilket område som helst. $E\subset {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\i G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap E$

Anslutningar

Avstånd mellan uppsättningar

Som är känt från elementär matematik, på det komplexa planet är avståndet mellan två punkter lika med modulen för deras skillnad. Låt oss nu definiera avståndet mellan en punkt och någon uppsättning som ett värde . $z_{0}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${\mathrm {avstånd}}\,(z_{0},G)=\inf _{{z\in G}}|z-z_{0}|$

Baserat på detta koncept är det redan möjligt att bestämma avståndet mellan två godtyckliga uppsättningar i : . $\mathbb {C}$ ${\mathrm {avstånd}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\i G_{1}}}{\mathrm {avstånd}}\,(z,G_{2 })=\inf _{{z\in G_{2}}}{\mathrm {avstånd}}\,(z,G_{1})$

Anslutningar

En mängd kallas kopplad om den uppfyller relationen . Om detta värde inte är lika med noll, kallas uppsättningen frånkopplad . Det kan visas att en frånkopplad uppsättning kan representeras som en union (ändlig eller räknebar) , där är icke-korsande sammankopplade uppsättningar, kallade sammankopplade komponenter i uppsättningen . Kardinaliteten för en uppsättning anslutna komponenter kallas anslutningsordningen . $G\subset \mathbb {C}$ $\inf _{{z_{1},z_{2}\in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ $G$ $\summa G_{n}$ $G_{n}$ $G$

Konvexa, stjärn- och vägkopplade uppsättningar

En uppsättning kallas stjärnformad med avseende på en punkt om inkluderingen gäller för en godtycklig punkt . $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\i G$ $z\in G$ $\overline {z_{0}z}\subset G$

En mängd kallas konvex om den är stjärnformad med avseende på någon av dess punkter. En uppsättning kallas det konvexa skrovet av en uppsättning om den är konvex, och för alla konvexa uppsättningar som innehåller uppsättningen gäller inkluderingen . $G\subset \mathbb {C}$ $G^{*}$ $G$ $G\subset G^{*}$ $G^{{**}}$ $G$ $G^{*}\subset G^{{**}}$

En streckad linje är en uppsättning punkter i det komplexa planet, representerade som en förening av segment. En mängd kallas vägkopplad om det för två godtyckliga punkter finns en polylinje så att . $\Gamma$ $G$ $z_{1},z_{2}\i G$ $\Gamma \delmängd G$ $z_{1},z_{2}\i \Gamma$

Det kan bevisas att alla bananslutna uppsättningar kommer att anslutas. Detta innebär omedelbart att alla konvexa och stjärnuppsättningar är anslutna.

Kurvor på $\mathbb {C}$

Kurvor och banor

En kurva eller en bana på det komplexa planet är en kartläggning av formen . Det är särskilt värt att notera att med en sådan definition är det möjligt att specificera inte bara typen av kurva, som kommer att bero på funktionens analytiska egenskaper , utan också dess riktning . Till exempel kommer funktionerna och att definiera en kurva som är densamma till utseendet, men som kan passeras i motsatta riktningar. $\mathbb {C}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\eta (t)=\varphi (1-t)$

Homotopi av kurvor

Kurvor och kallas homotopiska om det finns en kurva beroende på parametern på ett sådant sätt att och . $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\xi (t,q)\colon [0;1]\ gånger [0;1]\till {\mathbb C}$ $q$ $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$

Analytisk geometri på det komplexa planet

Studiet av plana figurer underlättas ofta om de överförs till det komplexa planet. Många planimetrisatser tillåter en tydlig och kompakt notation med komplexa tal, till exempel [2] :

Tre (distinkta) punkter ligger på samma linje om och endast om följande villkor är uppfyllt: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

är ett reellt tal.

Fyra (distinkta) punkter ligger på samma cirkel (eller på samma linje) om och endast om följande villkor är uppfyllt: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

förhållandet är ett reellt tal.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Om tre hörn av ett parallellogram ges : då bestäms den fjärde av likheten [3] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Den parametriska ekvationen för en rät linje på det komplexa planet har formen [4] :

z=ut+v,

där är komplexa tal, är en godtycklig reell parameter.

u,v

u\neq 0,t

Vinkeln mellan två linjer och är I synnerhet är linjerna vinkelräta när är ett rent imaginärt tal. Två linjer är parallella om och endast om det finns ett reellt tal; om den också är verklig, så sammanfaller båda linjerna. Varje rät linje skär det komplexa planet i två halvplan: på ett av dem är uttrycket positivt, på det andra är det negativt [4] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operatörsnamn {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ $(v'-v)/u$ $z=ut+v$ $t=\operatörsnamn {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ekvationen för en cirkel med centrum och radie har en extremt enkel form: Olikheten beskriver det inre av en cirkel [4] . Den parametriska formen av cirkelekvationen är ofta bekväm [5] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Det utökade komplexa planet och punkten i oändligheten

I komplex analys är det ofta användbart att betrakta det utökade komplexa planet [6] förstärkt jämfört med den vanliga punkten i oändligheten : $(z=\infty )$

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

Geometriskt representeras en punkt av en punkt på Riemann-sfären (dess "nordpol"). $\infty$

Med detta tillvägagångssätt anses en oändligt ökande (modulo) sekvens konvergera till en punkt i oändligheten. Algebraiska operationer med oändlighet utförs inte, även om flera algebraiska relationer gäller [6] :

${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Den -grannskap av en punkt i oändligheten anses vara den uppsättning punkter vars modul är större än , det vill säga den yttre delen av -grannskapet av ursprunget. $z$ $1 \over \varepsilon$ $1 \over \varepsilon$

Det utökade komplexa planet kallas också Riemann-sfären , eftersom det är isomorft till den vanliga sfären (isomorfism kan till exempel fastställas med stereografisk projektion ). Komplext värderade funktioner kan i vissa fall utvidgas till Riemann-sfären. Eftersom linjer på planet (under stereografisk projektion) förvandlas till cirklar på sfären som innehåller en punkt i oändligheten, är det bekvämare att överväga komplexa funktioner på sfären. $S^{2}$ [ förtydliga ]

Anteckningar

↑
Dubbelspänningen ges enligt följande källor.
- Great Soviet Encyclopedia , 3:e uppl. (1973), volym 12, s. 588, artikel Komplexa tal .
- Soviet Encyclopedic Dictionary (1982), s. 613, artikel Komplext nummer .
- Den senaste utgåvan av "Ordbok över det ryska språkets svårigheter" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) indikerar båda alternativen: "komplexa (komplexa) tal."
- I Great Russian Encyclopedia (Volume 14, 2010) erbjuds av oförklarliga skäl samtidigt accenterna Complex number (s. 691), men komplex analys (s. 695).
↑ Privalov I.I., 1984 , sid. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , sid. tio.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , sid. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , sid. 12.
↑ 1 2 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , sid. 20-21.

Litteratur

Arnold V. I. Geometry of komplexa tal, quaternions and spins , MTsNMO, 2002.
Pontryagin L. Complex numbers , Kvant , nr 3, 1982.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel. - 13:e upplagan - M . : Fizmatlit, 1984. - 432 sid.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel - M. : Nauka, 1967. - 304 sid.
Solomentsev ED Funktioner av en komplex variabel och deras tillämpningar. - M . : Högre skola, 1988. - 167 sid. — ISBN 5-06-003145-6 .
Shabat B. V. Introduktion till komplex analys: En lärobok för studenter i mekanik och matematik vid universitet, St. Petersburg: 2004.
Ahlfors Lars V. Komplex analys. En introduktion till teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel. - Tredje upplagan. - Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 sid. — ISBN 0-07-000657-1 .