Ändring

En ändlig ring i allmän algebra är en ring som innehåller ett ändligt antal element (kallad ringens ordning ). Med andra ord, detta är en (icke-tom) finit mängd , på vilken operationerna addition och multiplikation definieras, och med avseende på addition bildar den en kommutativ finit grupp , och multiplikation är kopplad till addition genom de vanliga distributionslagarna . Förekomsten av en enhet och kommutativiteten för multiplikation i en ring stämmer inte alltid, nolldelare kan också finnas . $R$ $R$

Antalet ringar av små beställningar anges i onlineuppslagsverket över heltalssekvenser [1] .

Exempel på ändliga ringar

Det enklaste exemplet är den triviala ringen , som består av en nolla. Varje ring innehåller en trivial subring . Detta är den enda ringen där noll är en multiplikativ etta [2] . Alla andra ändliga ringar kallas icke-triviala.

Ett klassiskt exempel på en finit ring är restringen modulo något naturligt värde . En restring är ett fält om och endast om talet är primtal [3] . Om talet är sammansatt finns det nolldelare i ringen . Till exempel ger en mängd med operationer av addition och multiplikation modulo 8 ett exempel på en ring utan enhet och med nolldelare: Restringar är viktiga för att studera strukturen av ändligt genererade abelska grupper , de kan också användas för att konstruera p -adic siffror . Denna ring är kommutativ, men ringen av kvadratiska matriser av en given ordning vars element är restklasser modulo , är inte längre kommutativ. $\mathbb {Z} _{n}$ $n$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0;\ 2;\ 4;\ 6\}$ $2\cdot 4=4\cdot 6=0.$ $n$

Ringen av delmängder av en ändlig mängd är en ring vars element är delmängder i . Adderingsoperationen är den symmetriska skillnaden och multiplikationen är skärningspunkten mellan mängder : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A)

A \cdot B = A \cap B

Ringaxiomen är lätta att verifiera. Nollelementet är den tomma mängden , enhetselementet är allt . Alla element i ringen är idempotenta , det vill säga . Varje element är dess inversa dessutom: Ringen av delmängder är viktig i teorin för booleska algebror och måttteori , i synnerhet för konstruktionen av sannolikhetsteori [2] .

X

A\cdot A = A

A+A=0.

Varje finit fält eller finit kropp är också en finit ring.

Vissa egenskaper

I en kommutativ finit ring med ett är varje element som inte är noll antingen inverterbart eller är en nolldelare . Låt oss verkligen vara ett element som inte är noll i orderringen ; vi komponerar produkter av alla delar av ringen som inte är noll: . Om det finns en bland dessa produkter är elementet inverterbart, och om inte, är antingen en av produkterna lika med noll, eller så är två produkter lika: eller i båda fallen , en divisor av noll, etc. $a$ $n$ $a$ ${\displaystyle aa_{1}\dots aa_{n-1))$ $aa_{i}=aa_{k},$ $a(a_{i}-a_{k})=0.$ $a$

Följd: en icke-trivial kommutativ finit ring utan nolldelare är ett fält (existensen av en enhet i ringen följer av samma resonemang).

En ring med icke-trivial multiplikation (för vilken inte alla produkter av element är lika med noll) kallas enkel om den inte innehåller tvåsidiga ideal , förutom den triviala subringen och sig själv . Varje fält är en enkel ring, eftersom fältet inte har några riktiga ideal. En kommutativ ring med identitet är ett fält om och bara om det är en enkel ring. $R$ $R$ $R$ $R$

Wedderburns satser

Wedderburns lilla teorem säger att varje finit kropp är ett fält (det vill säga kommutativ genom multiplikation) [4] [5] .

Nathan Jacobson upptäckte senare ett annat tillstånd som garanterar kommutativiteten hos en ring: om det för varje element i ringen finns ett heltal så att , då är ringen kommutativ [6] . Andra tecken på ringarnas kommutativitet har också hittats [7] . $a$ $R$ $n>1$ $a^{n}=a$ $R$

Ett annat Wedderburn-teorem: låt vara en enkel ring med identitet och minimala vänsterideal. Då är ringen isomorf till ringen av alla ordningsmatriser över någon divisionsring . I det här fallet är kroppen unikt definierad, och kroppen definieras upp till isomorfism. Omvänt, för vilken kropp som helst, är en ring en enkel ring. Detta betyder att vilken finit enkel ring som helst är isomorf till en kvadratisk matrisring över något ändligt fält [8] . $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A027623 _
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , sid. 18-19.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 28-34.
↑ Herstein, 1972 , sid. 70-71.
↑ Prasolov V.V. Polynom . - M. : MTSNMO, 2003. - S. 113. - 336 sid. — ISBN 5-94057-077-1 .
↑ Herstein, 1972 , sid. 74.
↑ Pinter-Lucke J. Kommutativitetsvillkor för ringar: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. - 2007. - T. 25 , nr. 2 . - S. 165-174 . - doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001 .
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 372.

Litteratur

Atiyah M. , McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 sid.
Belsky A., Sadovsky L. Rings // Kvant . - 1974. - Nr 2 .
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : Mir, 1975. - 623 sid.
Vinberg E. B. Algebrakurs. — Ny upplaga, reviderad. och ytterligare — M.: MTsNMO, 2011. — 592 sid.
Jacobson N. Struktur av ringar. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1961.
Herstein I. Icke-kommutativa ringar. - M . : Mir, 1972. - 190 sid.