Äntligen genererad modul

En ändligt genererad modul över en associativ ring är en modul som genereras av ett ändligt antal av dess element. Till exempel, för den högra modulen, betyder detta att det finns en ändlig uppsättning element så att alla element från kan representeras som en summa , där finns några element i ringen . $M$ $A$ $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\i M$ $M$ $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\ldots +m_{n}a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\i A$ $A$

Bland de egenskaper som är nära relaterade till ändligt genererade finns ändligt representerade, ändligt sammankopplade och koherenta moduler. Över en Noetherian ring är alla fyra egenskaper likvärdiga.

Ändligt genererade moduler över ett fält är exakt ändliga dimensionella vektorrum.

Egenskaper

Bilden av en ändligt genererad modul under en homomorfism genereras också ändligt. I allmänhet genereras inte undermoduler till en ändligt genererad modul nödvändigtvis ändligt. Betrakta till exempel ringen R = Z [ x 1 , x 2 …] av polynom i ett oändligt antal variabler. Denna ring genereras ändligt som en R -modul. Betrakta dess undermodul (dvs ideal ) som består av alla polynom med nollkoefficient vid en konstant. Om denna modul hade en ändlig genereringsmängd, skulle varje monomial x i behöva ingå i ett av polynomen i denna mängd, vilket är omöjligt.

En modul kallas Noetherian om någon av dess undermoduler genereras ändligt. Dessutom genereras en modul över en Noethersk ring ändligt om och endast om den är Noetherian.

Låt 0 → M′ → M → M′′ → 0 vara en exakt sekvens av moduler. Om M′ och M′′ genereras ändligt här, så genereras även M ändligt. Vissa påståenden är också sanna, delvis omvända till detta. Om M genereras ändligt och M'' är ändligt representerad (detta är ett starkare tillstånd än att vara ändligt genererat, se nedan), så genereras M' ändligt.

I kommutativ algebra finns det ett visst samband mellan att vara ändligt genererade och heltalselement . En kommutativ algebra A över R sägs vara ändligt genererad över R om det finns en ändlig uppsättning av dess element så att A är den minsta subringen av A som innehåller R och dessa element. Detta är ett svagare tillstånd än att vara ändligt genererad: till exempel är polynomalgebra R [ x ] en ändligt genererad algebra, men inte en ändligt genererad modul. Följande påståenden motsvarar [1] :

A är en ändligt genererad modul;
A är en ändligt genererad algebra som är en hel förlängning av R .

Ändligt presenterade, ändligt anslutna och sammanhängande moduler

Den ändligt genererade egenskapen kan formuleras enligt följande: en ändligt genererad modul M är en modul för vilken det finns en epimorfism

f : R k → M .

Tänk nu på epimorfismen

φ : F → M

från en fri modul F till M .

Om kärnan av epimorfismen φ genereras ändligt, kallas M en ändligt ansluten modul . Eftersom M är isomorf till F /ker(φ), kan denna egenskap uttryckas på följande sätt: M erhålls från en fri modul genom att addera ett ändligt antal relationer .
Om kärnan av epimorfismen φ genereras ändligt och rangordningen av F är ändlig, så kallas M en ändligt presenterad modul . Här har M ett ändligt antal generatorer (bilderna av generatorerna F ) och ett ändligt antal relationer (generatorerna ker(φ)).
En koherent modul är en ändligt genererad modul vars alla ändligt genererade submoduler är ändligt representerade.

Om jordringen R är Noetherian är alla fyra villkoren ekvivalenta.

Även om koherensvillkoret verkar mer "krångligt" än de ändligt kopplade och representerade villkoren, är det också intressant eftersom kategorin koherenta moduler är abelisk , i motsats till kategorin ändligt genererade eller ändligt presenterade moduler.

Se även

Anteckningar

↑ Kaplansky, 1970 , Teorem 17, sid. elva.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. . Introduktion till kommutativ algebra. - M . : Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Bourbaki, Nicolas. . Kommutativ algebra. Kapitel 1-7. Översatt från franskan. Omtryck av den engelska översättningen från 1989. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - xxiv + 625 s. - (Elements of Mathematics). — ISBN 3-540-64239-0 .
Kaplansky, Irving. . kommutativa ringar. - Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. - x + 180 sid.
Lam T.Y. Föreläsningar om moduler och ringar. - Springer-Verlag, 1999. - (Examinerade texter i matematik. Nr 189). — ISBN 978-0-387-98428-5 .
Lang, Serge. . Algebra. 3:e uppl. - Addison-Wesley , 1997. - ISBN 978-0-201-55540-0 .