Konform euklidisk modell

Den konforma euklidiska modellen eller Poincaré-modellen är en modell av Lobachevsky-rummet.

Det finns varianter av modellen - i en cirkel ( stereografisk projektion ) och på ett halvplan för Lobachevskys planimetri , såväl som i en boll och i halvutrymmet - för Lobatsjovskijs stereometri , respektive.

Den konforma euklidiska modellen är anmärkningsvärd för det faktum att hörnen i den representeras av vanliga vinklar, det vill säga denna modell är konform [1] , i motsats till den projektiva modellen , där definitionen av vinklar är mycket svårare.

Historik

Denna modell föreslogs av Eugenio Beltrami , tillsammans med den projektiva modellen och pseudosfärmodellen . [2] Metriken i den konforma euklidiska modellen finns också i Riemanns berömda föreläsning "On the Hypotheses Underlying Geometry", men det var Beltrami som upptäckte sambandet med Lobachevskys geometri. Därefter upptäckte Henri Poincaré sambanden av denna modell med problem i teorin om funktioner för en komplex variabel , vilket gav en av de första seriösa tillämpningarna av Lobachevskys geometri .

Modeller i en cirkel och i en boll

Lobachevsky -planet anses vara det inre av en cirkel (visad i illustrationen) i det euklidiska rummet; gränsen för en given cirkel (cirkeln) kallas "absolut". Rollen av geodetiska linjer utförs av bågarna av cirklar som finns i denna cirkel , vinkelrät mot det absoluta, och dess diametrar; rörelsernas roll är de transformationer som erhålls genom kombinationer av inversioner med avseende på cirklar vars bågar tjänar som raka linjer. $(a,\;b,\;b')$

Metriken för Lobachevsky-planet i den konforma euklidiska modellen i enhetscirkeln är: $ds$

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2))}(dx^{2}+dy^{2 }),

där och är abskissan respektive ordinata axlar [ 3] . $x$ $y$

På liknande sätt, för en konform euklidisk modell i en boll , spelas rollen som det absoluta av gränssfären i det tredimensionella euklidiska rummet, och Lobachevsky-rummet är bollens inre.

Avstånd

I komplexa koordinater på en enhetscirkel kan avstånden beräknas med följande formel:

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {zw}{1-z\ cdot {\bar {w}}}}\right|.

Avstånd kan uttryckas i termer av ett dubbelt förhållande . Om på bågen är punkterna placerade i följande ordning: , , , då är avståndet mellan punkterna och , i Lobachevsky-geometrin lika med $w_{1}$ $z_{1}$ $w_{1}$ $w$ $z$ $z_{1}$ $w$ $z$

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}} {w-z_{1}}}\right)

Halvplans- och halvplansmodeller

I Poincare-halvplansmodellen tas det övre halvplanet som Lobachevsky- planet . Den räta linjen som begränsar halvplanet (det vill säga abskissaxeln) kallas "absolut". Rollen av raka linjer spelas av halvcirklarna som finns i detta halvplan med centra på det absoluta och strålarna vinkelräta mot det (det vill säga vertikala strålar) som börjar vid det absoluta. Rörelsernas roll är de transformationer som erhålls genom sammansättningen av ett ändligt antal inversioner centrerade på de absoluta och axiella symmetrierna , vars axlar är vinkelräta mot det absoluta.

Lobachevskii- planmetriken i den konforma euklidiska modellen i det övre halvplanet har formen: [3] , där och är rektangulära koordinater, respektive parallella och vinkelräta mot det absoluta. $ds$ $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ $u$ $v$

Följaktligen, i den konforma euklidiska modellen i ett halvrum , spelas rollen som det absoluta av ett plan i det tredimensionella euklidiska rummet, och Lobachevsky -rummet är halvrummet som ligger på detta plan.

Se även

Picks teorem är en invariant form av Schwartz-lemma som använder avstånd i den konforma euklidiska modellen.

Anteckningar

↑ Popov A.G. Pseudosfäriska ytor och några problem inom matematisk fysik . Hämtad 24 juli 2007. Arkiverad från originalet 20 mars 2022. (obestämd)
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
översättning: Beltrami E. Fundamentals of theory of spaces of constant curvature. // Om geometrins grund: Samling. - M. : GITTL, 1956. - S. 342-365 .
↑ 1 2 Buyalo S. V. Föreläsningskurs "Asymptotic geometri of metric spaces" våren 2004.

Litteratur

Chernikov N. A. Bogolyubov transformation och Lobachevsky planimetri. Avsnitt 4, jämförelse av två Poincaré-modeller. (ej tillgänglig länk sedan 2013-05-18 [3446 dagar] - historik )
Samarov K., Uroev V. "Poincare Model". — Quantum magazine. — 1984. - nummer 6.