Ett korrekt ställt problem i matematik är ett tillämpat problem, vars matematiska lösning finns, är unik och stabil [1] . Härledd från en definition given av Jacques Hadamard , enligt vilken matematiska modeller av fysiska fenomen måste ha följande egenskaper:
Ett illa ställt problem är ett problem som inte har någon av egenskaperna hos ett väl ställt problem.
Exempel på typiska välpositionerade problem är Dirichlet-problemet för Laplace-ekvationen och diffusionsekvationen med givna initiala förutsättningar . De kan betraktas som "naturliga" problem, i den meningen att det finns fysiska processer som beskrivs av lösningar på dessa problem. Å andra sidan är det omvända problemet för diffusionsekvationen - att hitta den tidigare temperaturfördelningen från de slutliga data - inte välpositionerat, eftersom dess lösning är mycket känslig för förändringar i slutdata.
Omvända problem visar sig mycket ofta vara illa ställda . Sådana kontinuerliga problem måste ofta diskretiseras för att få en numerisk lösning. Även om sådana problem ur funktionsanalyssynpunkt vanligtvis är kontinuerliga, kan de bli föremål för instabilitet hos den numeriska lösningen vid beräkning med ändlig noggrannhet eller på grund av fel i data. Dåligt ställda problem kan uppstå vid bearbetningen av geofysiska , geologiska , astronomiska observationer, för att lösa problem med optimal kontroll och planering.
Även om problemet är välbelagt kan det fortfarande vara dåligt konditionerat , det vill säga ett litet fel i initialdata kan leda till mycket större fel i lösningarna. Dåligt villkorade uppgifter kännetecknas av ett stort antal villkor .
Om problemet är korrekt angivet, så finns det en god chans att dess numeriska lösning med hjälp av en stabil algoritm . Om uppgiften är felaktigt inställd måste dess formulering ändras; vanligtvis införs några ytterligare antaganden för detta (som antagandet att lösningen är smidig). Denna procedur kallas regularisering , och Tikhonovs regularisering används mest , tillämplig på linjära illa ställda problem.