Koefficienter för numeriska differentieringsformler

I matematik, för en ungefärlig beräkning av derivatorna för en given tabellfunktion , kan man söka efter ett uttryck för derivatornas värden genom de kända värdena för funktionen med hjälp av en lämplig uppsättning koefficienter . För att göra detta kan du använda olika interpolationsformler eller metoden för obestämda koefficienter .

Ekvidistanta knutar

Låt vara en punkt där det är nödvändigt att beräkna derivatorna av en tillräckligt jämn funktion , vara ett rutnät av ekvidistanta noder med ett steg och värdena för funktionen vid dessa noder är kända. I det här fallet är det möjligt att uttrycka numeriska differentieringsformler direkt i termer av funktionsvärden med hjälp av Lagranges interpolationsformel . Sådana formler kallas också icke-differensformler, eftersom de inte kräver beräkning av ändliga eller uppdelade skillnader [1] .

Beroende på platsen för punkten i rutnätet av noder (vänster, höger eller mitten), särskiljs koefficienterna som beräknas "framåt", "bakåt" och symmetriska koefficienter.

Symmetriska koefficienter

För att få symmetriska koefficienter måste antalet noder i rutnätet vara udda. Då blir ordningen för approximationsfelet ett jämnt tal.

Derivatordning Felordning −5 −4 −3 −2 −1 0 ett 2 3 fyra 5
ett 2 −1/2 0 1/2
fyra 1/12 −2/3 0 2/3 −1/12
6 −1/60 3/20 −3/4 0 3/4 −3/20 1/60
åtta 1/280 −4/105 1/5 −4/5 0 4/5 −1/5 4/105 −1/280
2 2 ett −2 ett
fyra −1/12 4/3 −5/2 4/3 −1/12
6 1/90 −3/20 3/2 −49/18 3/2 −3/20 1/90
åtta −1/560 8/315 −1/5 8/5 −205/72 8/5 −1/5 8/315 −1/560
3 2 −1/2 ett 0 −1 1/2
fyra 1/8 −1 13/8 0 −13/8 ett −1/8
6 −7/240 3/10 −169/120 61/30 0 −61/30 169/120 −3/10 7/240
fyra 2 ett −4 6 −4 ett
fyra −1/6 2 −13/2 28/3 −13/2 2 −1/6
6 7/240 −2/5 169/60 −122/15 91/8 −122/15 169/60 −2/5 7/240
5 2 −1/2 2 −5/2 0 5/2 −2 1/2
fyra 1/6 −3/2 13/3 −29/6 0 29/6 −13/3 3/2 −1/6
6 −13/288 19/36 −87/32 13/2 −323/48 0 323/48 −13/2 87/32 −19/36 13/288
6 2 ett −6 femton −20 femton −6 ett
fyra −1/4 3 −13 29 −75/2 29 −13 3 −1/4
6 13/240 −19/24 87/16 −39/2 323/8 −1023/20 323/8 −39/2 87/16 −19/24 13/240

Till exempel beräknas den tredje derivatan med ett andra ordningens fel som

Odds framåt

Derivatordning Felordning 0 ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta
ett ett −1 ett              
2 −3/2 2 −1/2            
3 −11/6 3 −3/2 1/3          
fyra −25/12 fyra −3 4/3 −1/4        
5 −137/60 5 −5 10/3 −5/4 1/5      
6 −49/20 6 −15/2 20/3 −15/4 6/5 −1/6    
2 ett ett −2 ett            
2 2 −5 fyra −1          
3 35/12 −26/3 19/2 −14/3 11/12        
fyra 15/4 −77/6 107/6 −13 61/12 −5/6      
5 203/45 −87/5 117/4 −254/9 33/2 −27/5 137/180    
6 469/90 −223/10 879/20 −949/18 41 −201/10 1019/180 −7/10  
3 ett −1 3 −3 ett          
2 −5/2 9 −12 7 −3/2        
3 −17/4 71/4 −59/2 49/2 −41/4 7/4      
fyra −49/8 29 −461/8 62 −307/8 13 −15/8    
5 −967/120 638/15 −3929/40 389/3 −2545/24 268/5 −1849/120 29/15  
6 −801/80 349/6 −18353/120 2391/10 −1457/6 4891/30 −561/8 527/30 −469/240
fyra ett ett −4 6 −4 ett        
2 3 −14 26 −24 elva −2      
3 35/6 −31 137/2 −242/3 107/2 −19 17/6    
fyra 28/3 −111/2 142 −1219/6 176 −185/2 82/3 −7/2  
5 1069/80 −1316/15 15289/60 −2144/5 10993/24 −4772/15 2803/20 −536/15 967/240

Till exempel, den första derivatan med ett tredje ordningens fel och den andra derivatan med ett andra ordningens fel beräknas som

Det är lätt att se att koefficienterna för första ordningens fel är binomialkoefficienter med växlande tecken, vilket motsvarar den allmänna formeln för stigande ändliga skillnader.

Odds tillbaka

För att få tillbaka koefficienterna är det nödvändigt att vända tecknen på koefficienterna framåt för derivator av udda ordningar och spegla tabellen med koefficienter från höger till vänster:

Derivatordning Felordning −5 −4 −3 −2 −1 0
ett ett         −1 ett
2       1/2 −2 3/2
3     −1/3 3/2 −3 11/6
2 ett       ett −2 ett
2     −1 fyra −5 2
3 ett     −1 3 −3 ett
2   3/2 −7 12 −9 5/2
fyra ett   ett −4 6 −4 ett
2 −2 elva −24 26 −14 3

Till exempel, den första derivatan med ett tredje ordningens fel och den andra derivatan med ett andra ordningens fel beräknas som

Ett godtyckligt rutnät av noder

För att erhålla koefficienter för godtyckligt placerade noder är det bekvämt att använda metoden med obestämda koefficienter [2] . För att göra detta skrivs värdet av den önskade derivatan av ordningen vid punkten som

var

- okända koefficienter, är resten av interpolationen.

Koefficienterna väljs från villkoret som måste vara uppfyllt för funktionerna , , ,..., . Det visar sig följande linjära ekvationssystem :

I det här fallet kommer räknefelet att vara i storleksordningen .

Systemets matris är Vandermonde-matrisen , som också uppstår när man löser det allmänna problemet med interpolation med polynom .

Anteckningar

  1. ↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 230.
  2. ↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 234.

Litteratur

Länkar

Se även