Friedman-kriterium

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 februari 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Friedman -testet [1] ( eng. Friedman-testet ) är ett icke-parametriskt statistiskt test utvecklat av den amerikanske ekonomen Milton Friedman . Det är en generalisering av Wilcoxon-kriteriet och används för att jämföra mätförhållanden ( ) för objekt (ämnen) med rangordning efter individuella mätvärden [2] . Icke-parametrisk analog av variansanalys med upprepade mätningar ANOVA . $c$ $c\geqslant 3$ $n$

Utmana

Givet ett urval av mätningar för vart och ett av försökspersonerna, som kan presenteras i form av en tabell [2] [3] : $c$ $n$

	Villkor
objektnummer	$ett$	$2$	$\prickar$	$c$
$ett$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\prickar$	${\displaystyle x_{c1))$
$2$	$x_{12}$	$x_{22}$	$\prickar$	${\displaystyle x_{c2))$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	${\displaystyle x_{1n))$	${\displaystyle x_{2n))$	$\prickar$	${\displaystyle x_{cn))$

Som en nollhypotes betraktas följande: "det finns bara slumpmässiga skillnader mellan de mätningar som erhållits under olika förhållanden" [2] . En signifikansnivå väljs till exempel ( sannolikhet att felaktigt förkasta nollhypotesen). $H_{0}$ $\alfa$ $\alpha =0.01$

Hypotestestning

Först får vi en tabell med rangordningar efter rader, där vi får rangordningen för objektet när vi rangordnar [3] : $r_{{ij}}$ $x_{ij}$ ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj))$

	Rank
objektnummer	$ett$	$2$	$\prickar$	$c$
$ett$	$r_{11}$	$r_{21}$	$\prickar$	${\displaystyle r_{c1))$
$2$	$r_{12}$	$r_{22}$	$\prickar$	${\displaystyle r_{c2))$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	${\displaystyle r_{1n))$	${\displaystyle r_{2n))$	$\prickar$	${\displaystyle r_{cn))$

Vi tar fram summorna av rang och introducerar annan notation:

{\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij))

{\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}

{\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}

För att testa hypotesen kommer vi att använda det empiriska värdet av kriteriet - statistik :

S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\ bar{R}}})^{2}

som också kan skrivas som:

S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)

Nollhypotesen accepteras om det kritiska värdet av kriteriet överstiger det empiriska värdet:

S<S_{\alpha }(n,c)

För små värden och för det kritiska Friedman-värdet finns tabeller för olika värden på signifikansnivån (eller konfidensnivån [3] ). $n$ $c$ $\alfa$ $1-\alfa$

Approximation är tillämplig för och - chi-kvadratfördelningskvantil med frihetsgrader [3] : $n\geqslant 13$ $c\geqslant 20$ $\alfa$ $c-1$

S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)

För vissa små värden kan statistiken omvandlas för att approximera kvantilen för Fisher-fördelningen eller tillämpa Iman-Davenport-statistiken [3] . $\alfa$

Exempel

Klassiska applikationsexempel:

$n$ provare utvärderar olika sorters viner. Har viner betydande skillnader?
Svetsar gjorda av svetsare med svetsbrännare utvärderades för kvalitet. Finns det några kvalitetsskillnader på någon av brännarna? $n$ $c$

Post hoc analys

Posthoc- analys föreslogs av Shaikh och Hamerly (1984) [4] , samt Conover (1971, 1980) [5] för att bestämma vilka förhållanden som skiljer sig signifikant från varandra, baserat på skillnaden i deras medelvärden [6 ] .

Programvaruimplementering

Friedman-testet finns i många mjukvarupaket för statistisk databehandling ( SPSS , R [7] och andra [8] ).

Inte alla statistiska paket stödjer post hoc-analys för Friedman-testet, men kod kan hittas för t.ex. SPSS [9] och R [10] .

Anteckningar

↑ Kobzar A. I. (“Applied Mathematical Statistics”) kallar detta kriterium för Friedman-Kendall-Babbington Smith-kriteriet
↑ 1 2 3 Afanasiev, Sivov, 2010 .
↑ 1 2 3 4 5 Kobzar, 2006 .
↑ Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9 .
↑ Conover, WJ (1971, 1980). Praktisk icke-parametrisk statistik. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3 .
↑ Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6 .
↑ Friedman Rank Sum Test . Hämtad 22 november 2012. Arkiverad från originalet 9 januari 2019. (obestämd)
↑ Friedmans test . Datum för åtkomst: 22 november 2012. Arkiverad från originalet den 29 juli 2014. (obestämd)
↑ Post-hoc-jämförelser för Friedman-testet (nedlänk) . Hämtad 10 november 2012. Arkiverad från originalet 3 november 2012. (obestämd)
↑ Post hoc-analys för Friedmans test (R-kod) . Hämtad 10 november 2012. Arkiverad från originalet 13 november 2012. (obestämd)

Litteratur

Afanasiev V. V., Sivov M. A. Matematisk statistik i pedagogik . - Yaroslavl: YaGPU Publishing House, 2010. - S. 63 -65. — 76 sid. - ISBN 978-5-87555-366-0 .
Kobzar AI tillämpad matematisk statistik. För ingenjörer och vetenskapsmän. — M .: Fizmatlit , 2006. — S. 484-486. — 816 sid. — ISBN 5-9221-0707-0 .
Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Icke-parametriska statistiska metoder . - New York: John Wiley & Sons, 1973. - 503 sid. — S. 139–146 . — ISBN 9780471406358 .
Friedman, Milton . Användningen av rangordnar för att undvika antagandet om normalitet implicit i variansanalysen // Journal of the American Statistical Association : journal. - American Statistical Association, 1937. - December ( vol. 32 , nr 200 ). - P. 675-701 . - doi : 10.2307/2279372 . — .
Friedman, Milton. En korrigering: Användningen av rangordnar för att undvika antagandet om normalitet implicit i variansanalysen // Journal of the American Statistical Association : journal. - American Statistical Association, 1939. - Mars ( vol. 34 , nr 205 ). — S. 109 . - doi : 10.2307/2279169 . — .
Friedman, Milton. En jämförelse av alternativa test av betydelse för problemet med m rankningar // The Annals of Mathematical Statistics : journal. - 1940. - Mars ( vol. 11 , nr 1 ). - S. 86-92 . - doi : 10.1214/aoms/1177731944 . — .