Cirkulärt fält

Cirkulärt fält , eller fältet för att dividera en cirkel av grad n , är ett fält som genereras genom att addera till fältet av rationella tal den primitiva roten av den n :te graden av enhet . Cirkelfältet är ett underfält till fältet med komplexa tal . $K_{n}={\mathbb {Q}}(u)$ ${\mathbb {Q}}$ $u$

Namnet på fältet beror på det faktum att att dela enhetscirkeln i n lika delar är liktydigt med att konstruera en primitiv enhetsrot av n :te potensen i det komplexa planet . Studiet av cirkulära fält spelade en viktig roll i skapandet och utvecklingen av teorin om algebraiska heltal , talteori och Galois teori .

Exempel: består av komplexa tal av formen , där är rationella tal. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\ i$ $a,b$

Egenskaper

Det cirkulära fältet innehåller alla de n :te rötterna av enhet, såväl som resultaten av aritmetiska operationer på dem. Det beror inte på valet av den primitiva n :te enhetens rot.
- Följd: det cirkulära fältet är upplösningsfältet för polynomet . $x^n-1$
$K_{{4n+2}}=K_{{2n+1}}$ , så man brukar anta att resten när n divideras med 4 inte är 2 . Under detta tillstånd motsvarar olika n icke- isomorfa cirkulära fält. $(n\not \equiv 2{\pmod {4)))$
Fältet är en Abelisk fältförlängning med Galois-gruppen $K_n$ ${{\mathbb Q}}$ $G(K_{n}/{{\mathbb Q)))\simeq (\mathbb{Z } /n\mathbb{Z} )^{*},$

där är den multiplikativa gruppen av restklasser modulo n . Expansionsgraden är φ( n ) ( Euler funktion ).

(\mathbb{Z} /n\mathbb{Z} )^{*}

[K_{n}:{{\mathbb Q}}]

Kronecker–Webers teorem : Varje abeliask finit förlängning av fältet för rationella tal finns i något cirkulärt fält.

Se även

Cirkulärt polynom

Litteratur

Irland K., Rosen M. En klassisk introduktion till modern talteori . M.: Mir, 1987.
Van der Waerden B. L. Algebra. M.: Mir, 1975.

Länkar

Milne, James S. Algebraisk talteori . Kursanteckningar (1998). Arkiverad från originalet den 2 april 2012. (obestämd)