Laxstjärt (yta)

Sväljsvans är en oregelbunden yta ( stratifierad grenrör ) i tredimensionellt utrymme, som kan definieras på flera likvärdiga sätt.

Laxstjärtsytan studerades i detalj av Kronecker 1878, den finns också i verk av Cayley från samma tid, ägnade åt egenskaperna hos utbredning av vågfronter och kaustik [1] . Laxstjärten finner många tillämpningar inom katastrofteori och bifurkationsteori. I synnerhet är det den kritiska värdeytan (bilden av uppsättningen av kritiska punkter ) av en av de stabila groddarna för jämna kartläggningar . $f:\mathbb{R} ^{3}\to \mathbb{R} ^{3}$

Definition

Betrakta ett polynom i variabel , beroende på koefficienterna (både variabeln och koefficienterna antas vara reella). Varje trippel av koefficienter motsvarar unikt ett polynom , såväl som en punkt i rymden med kartesiska koordinater . Sedan definieras "laxstjärten" som en yta i rymden med koordinater , vars punkter motsvarar polynom som har flera rötter . $P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c$ $x$ $a,b,c$ $a,b,c$ $P(x)$ $(a,b,c)$ $S$ $(a,b,c)$ $P(x)$

Ytan har en singularitet i form av en spets och en självskärningslinje, medan spetsen har formen av en halvkubisk parabel med en singularitet i form av en spets . Ytan delar upp rymden i tre regioner som motsvarar antalet reella rötter i polynomet . Nämligen, i en region som har formen av en krökt pyramid, vars kanter är linjen för självskärning och två grenar av en halvkubisk parabel, har den 4 verkliga rötter; i området intill den - två och i det återstående området - noll. $S$ $S$ $(a,b,c)$ $P(x)$ $P(x)$

Parametrisk uppgift

Med denna definition kan man få en formel som definierar laxstjärten parametriskt. Villkoret för en multipelrot av ett polynom ger nämligen ett system med två ekvationer: $P(x)$

$P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c=0,\ \ P'(x)=4x^{3}+2ax+b=0,$

varifrån det är lätt att uttrycka variablerna i termer av : $b,c$ $a,x$

$\left\{{\begin{matrix}b=&-2(2x^{3}+ax)\\c=&3x^{4}+ax^{2}.\\\end{matrix} }\höger.$

Genom att introducera nya koordinater i utrymmet för koefficienter för polynomet , med hänsyn till variablerna på höger sida av de erhållna ekvationerna som parametrar: , och komplettera det resulterande systemet med två ekvationer med en trivial tredje ekvation , får vi en parametrisk notation: $x_{1}=a,\ x_{2}=-b/2,\ x_{3}=c$ $a,x$ $u=a,\ v=x$ $x_{1}=u$

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}(u,v)=&u\\x_{2}(u,v)=&2v^{3}+uv\\x_{3}(u,v )=&3v^{4}+uv^{2}.\\\end{matris}}\höger.$

I konsten

1983 målade den spanska konstnären Salvador Dali , inspirerad av den franske matematikern Rene Thoms arbete inom området katastrofteori, målningen " Svalans svans " ( eng. Svalans svans ), som är en enkel kalligrafisk komposition på en ljus bakgrund, i vars centrum ett ytsnitt avbildas i plan utrymme , en kurva med en självskärningspunkt och två halvkubiska cusp-punkter. I denna målning, som blev konstnärens sista verk, kan man också se en kubisk parabel , stiliserade integrerade tecken och fragment av musikinstrument [2] [3] [4] [5] . $S$ $(a,b,c)$ $a=const>0$

Se även

Diskriminerande

Litteratur

Arnold V.I. Catastropheory, - Vilken utgåva som helst.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, — Alla upplagor.
Brus J., Jiblin P. Kurvor och singulariteter: En geometrisk introduktion till teorin om singulariteter, - M .: Mir, 1988.
Arnold V. I. Egenskaper av frätande material och vågfronter, - M .: Fazis, 1996.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teori om bifurkationer.
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion till singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 sid. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Anteckningar

↑ Bruce J., Jiblin P. Kurvor och singulariteter: En geometrisk introduktion till singularitetsteori. - sida 8.
↑ Swallowtail - det sista verket av Salvador Dali Arkiverad 11 januari 2013 på Wayback Machine .
↑ Catastrophe Theory 1979 - 1983 Arkiverad 19 februari 2017 på Wayback Machine .
↑ Svalans svans . Hämtad 28 februari 2010. Arkiverad från originalet 31 juli 2010. (obestämd)
↑ Dalí, Salvador, 'Gala, Velásquez och det gyllene skinnet' (9 maj 1979). Återges delvis i Robert Descharnes, Dalí, verket, mannen (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Ursprungligen publicerad på franska som Dalí, l'oeuvre et l'homme (Lausanne: Edita, 1984).